Szimmetrikus különbség

Két halmaz szimmetrikus különbsége halmazelméleti művelet, melynek eredménye egy új halmaz, amely tartalmazza az eredeti halmazok minden olyan elemét, amely nem tartozik egyszerre mindkét eredeti halmazhoz. Más szóval, ha van két és halmaz , akkor ezek szimmetrikus különbsége a nem szereplő elemek uniója a nem -ben lévő elemekkel . Írásban a jelölést a halmazok szimmetrikus különbségének jelölésére használják, és ritkábban a vagy [1] jelölést használják . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\pont {-}}\,B$ $A+B$

Definíció

A szimmetrikus különbséget kétféleképpen lehet megadni:

két adott halmaz szimmetrikus különbsége és olyan halmaz , amely tartalmazza az első halmaz összes elemét, amely nem szerepel a második halmazban, valamint a második halmaz azon elemeit, amelyek nem szerepelnek az első halmazban: $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).

két adott halmaz szimmetrikus különbsége, és olyan halmaz , amely mindkét halmaznak mindazokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem közösek a két adott halmazban. $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

A szimmetrikus különbség fogalma kettőnél több halmazra is általánosítható.

Tulajdonságok

A szimmetrikus különbség egy bináris művelet bármely Boolean ;
A szimmetrikus különbség kommutatív :

A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;

A szimmetrikus különbség asszociatív :

\left(A\nagyháromszög B\jobb)\,\háromszög \,C=A\nagyháromszög \bal(B\,\háromszög \,C\jobb);

A halmazok metszéspontja disztributív a szimmetrikus különbséghez képest:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

Az üres halmaz a szimmetrikus különbség semleges eleme :

A\bigtriangleup \varnothing =A;

Bármely halmaz inverz önmagával a szimmetrikus differenciaművelet tekintetében:

A\bigtriangleup A=\varnothing ;

Konkrétan egy szimmetrikus differenciaműveletű Boole- féle Abel-csoport ;
A szimmetrikus differenciaműveletű logikai érték is egy vektortér a mező felett $\mathbb {Z} _{2}.$
Konkrétan a beállított metszéspontú és szimmetrikus különbségi műveletekkel rendelkező Boole-féle algebra egységgel .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\jobbra)\csésze \left(A_{2}\nagyháromszög B_{2}\jobbra);$
$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\jobbra)\csésze \left(A_{2}\nagyháromszög B_{2}\jobbra);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\jobbra)\csésze \left(A_{2}\nagyháromszög B_{2}\jobbra);$

Ha az "összeg" szerepét egy szimmetrikus különbség művelete, a "termék" szerepét pedig a halmazok metszéspontja játssza , akkor a halmazok egységnyi gyűrűt alkotnak . Ezen túlmenően a halmazelmélet egyéb alapvető műveletei, a különbség és az unió kifejezhetők rajtuk: