Vintage Dirichlet

A Dirichlet-konvolúció a számelméletben használt aritmetikai függvényekre definiált bináris művelet , amelyet Dirichlet német matematikus vezetett be és tanulmányozott .

Definíció

Két aritmetikai függvény Dirichlet-konvolúciója a következőképpen meghatározott aritmetikai függvény: $f*g$ $f$ $g$

(f*g)(n)=\sum _{{d\mid n}}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{{ab=n }}f(a)g(b)

ahol az összeget átvesszük az argumentum összes természetes osztójára , vagy ezzel egyenértékűen minden olyan természetes számpárra , amelynek szorzata egyenlő -val . $d$ $n$ $(a,b)$ $n$

Tulajdonságok

Az aritmetikai függvények halmaza pontonkénti összeadással (azaz a függvényt a reláció határozza meg ) és a Dirichlet-konvolúció egy kommutatív gyűrűt alkot , amelyet Dirichlet-gyűrűnek nevezünk . A gyűrű mértékegysége az if és if, if függvényként definiált függvény . Az invertálható elemek mind olyan függvények , hogy . $f+g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\epsilon(n)=1$ $n=1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $f$ $f(1)\neq 0$

Konkrétan a Dirichlet-konvolúció [1] asszociatív :

{\megjelenítési stílus (f*g)*h=f*(g*h)}

hozzáadással elosztva :

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f

kommutatív :

f*g=g*f

és van egy semleges eleme :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

Két multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója ismét multiplikatív, és mindegyik multiplikatív függvénynek van egy multiplikatív Dirichlet-inverziója. Ha egy teljesen multiplikatív függvény , akkor , ahol a függvények szorzása pontszerű összetételükként van definiálva. Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem mindig teljesen multiplikatív. $f$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

Dirichlet fellebbezése

Minden függvényhez , amelyhez létezik olyan függvény , hogy ( a gyűrű egysége a szorzásban), az úgynevezett függvény Dirichlet-inverziója . $f$ $f(1)\neq 0$ $g$ $f*g=\epsilon$ $\epsilon$ $f$

Az azonosságfüggvény Dirichlet-inverziója a Möbius-függvény , ezért sok eredmény következik, különösen: $1(n)=1$

g=f*1\Bal jobbra nyíl f=g*\mu

( Möbius inverziós formula ),

\lambda *|\mu |=\epsilon

, hol van a Liouville függvény ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

hol van a négyzetek halmaza.

S=\{1;4;9;16;...\}

Kapcsolat az osztófüggvénnyel : ${\displaystyle \sigma _{k))$

\sigma _{k}(n)=\sum \limits _{{d\mid n}}d^{k}

egy szám osztóinak -edik hatványát összegezve a konvolúcióhoz számos figyelemre méltó tulajdonság is társul: $k$

\sigma _{1}=\operátornév {Id} *1

( állandó függvény ),

\operátornév {Id}

\operatorname {Id} (n)=n

\sigma _{k}=\operátornév {Id} _{k}*1

( -a argumentum ereje: ),

\operátornév {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k))

\tau =1*1

(itt van a szám osztóinak száma ),

\tau=\sigma _{0}

n

\operatorname {Id} =\sigma _{1}*\mu

1=\tau*\mu

\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}

Kapcsolat az Euler-függvénnyel : $\varphi$

\varphi *1=\operátornév {Id}

\sigma _{1}=\varphi *\tau

Jordánnal való kapcsolat : ${\displaystyle J_{k))$

J_{k}*1=\operátornév {Id}

{\displaystyle (\operátornév {Id} _{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Kapcsolat a Mangoldt-függvénnyel : $\lambda$

\Lambda *1=\ln

Dirichlet fellebbezése

Ha adott egy aritmetikai függvény , akkor annak Dirichlet-inverziója rekurzívan számítható (pontosabban minden érték for -ban van kifejezve ) a Dirichlet-inverzió definícióján keresztül. $f$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $g(m)$ $m<n$

For - meghatározva: $n=1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\neq 0$

És általában mindenkinek : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d<n}}f\left({\frac {n} {d}}\jobbra)g(d)

$g(n)$ meghatározva, ha . Így egy függvénynek akkor és csak akkor van Dirichlet-inverziója, ha . $f(1)\neq 0$ $f$ $f(1)\neq 0$

Dirichlet rangok

Bármely aritmetikai függvényhez a Dirichlet-sor definiálható a következőképpen generáló függvény szerint $f$

\operátornév {DG}(f;s)=\sum \limits _{{n=1}}^{{+\infty }}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

minden olyan összetett érvre , amelyre a sorozat konvergál. A Dirichlet sorozat terméke a következőképpen kapcsolódik a Dirichlet-konvolúcióhoz: $s$

\operátornév {DG}(f;s)\operátornév {DG}(g;s)=\operátornév {DG}(f*g;s)

mindazokra , amelyeknél mindkét bal oldali sorozat konvergál , és legalább az egyik abszolút konvergál (ebben az esetben a bal oldali mindkét sorozat szokásos konvergenciája nem jelenti a jobb oldali sorozatok konvergenciáját). Ez az összefüggés szerkezetileg a Fourier-sorokra vonatkozó konvergenciatételre emlékeztet (ahol a Fourier-transzformáció szerepét a Dirichlet-sor játssza). $s$

Jegyzetek

↑ Chen, 2009 , A bizonyítékokat a 2. fejezet mutatja be.

Linkek

Chan Heng Huat. Analitikus számelmélet egyetemisták számára . - World Scientific Publishing Company , 2009. - ISBN 981-4271-36-5 .
Hugh L. Montgomery; Robert C Vaughan. Multiplikatív számelmélet I. Klasszikus elmélet (angol) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - Vol. 97. - P. 38. - (Cambridge-i traktusok haladó matematikából). - ISBN 0-521-84903-9 .
A maradékrendszerek osztálya (mod r) és a kapcsolódó aritmetikai függvények. I. A Möbius-inverzió általánosítása, 13-23.
Egy egész szám unitárius osztóihoz társított aritmetikai függvények, 66-80.
Egy egész szám egységes osztóinak száma, 879-880.
Egy egész számok végtelen osztóiról, 395-411.
Egy egész szám végtelen osztóihoz társított aritmetikai függvények, 373-383.
Sándor József; Berge, Antal. A Möbius függvény: általánosítások és kiterjesztések // Adv . Stud. Contemp. Math. (Kyungshang): folyóirat. - 2003. - 1. évf. 6 . - 77-128 . o .
Finch, Steven Unitarism and Infinitarism (elérhetetlen link) (2004). Az eredetiből archiválva : 2006. szeptember 1. (határozatlan)