Integrálegyenlet megoldó

Tekintsük az integrál egyenletet :

f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)

Az integrálegyenlet feloldója , vagy feloldó kernelje a változók és a paraméter olyan függvénye , hogy a (*) egyenlet megoldását a következőképpen ábrázoljuk: $\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ $s$ $t$ $\lambda$

u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.

Nem lehet a (*) egyenlet sajátértéke . $\lambda$

Példa

Legyen a (*) egyenletnek kernelje , azaz magának az egyenletnek a következő alakja van: $K(s,\;t)=s+t$

\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).

Ekkor a felbontása a függvény

\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1} {3}}\jobbra)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.

Lineáris operátor felbontása

Legyen egy lineáris operátor . Ekkor a rezolvenciája egy operátor értékű függvény [1] $A$

{\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1))

ahol az identitás operátor , és egy komplex szám a feloldó halmazból, azaz olyan halmaz, amelyben van korlátos operátor $E$ $z$ $R(z)$

Ezt a koncepciót használják a második típusú inhomogén Fredholm-egyenlet megoldására .

Jegyzetek

↑ Az operátorértékű függvény olyan függvény, amelynek értéke operátor.

Lásd még

Operátori spektrum