Egységes folytonosság
Az egyenletes folytonosság a függvény azon tulajdonsága , hogy a definíciós tartomány minden pontján egyformán folytonos legyen. A matematikai elemzésben ezt a fogalmat a numerikus függvényekre vezetik be , a funkcionális analízisben tetszőleges metrikus terekre általánosítják .
A folytonosság fogalma egyértelműen azt jelenti, hogy az argumentum kis változtatásai kis mértékben változnak a függvény értékében. Az egyenletes folytonosság tulajdonsága további feltételt támaszt: az argumentum értékének eltérését korlátozó érték csak a függvény eltérésének értékétől függhet, de nem az argumentum értékétől, azaz alkalmas a funkció teljes tartományára.
A numerikus függvények egységes folytonossága
Definíció
Egy valós változó numerikus függvénye egyenletesen folytonos, ha [1] :
![{\displaystyle f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bb049afd48817c6f5fbfbc9810d370801dbac4)
hol van az egyetemesség és a létezés kvantor , illetve az implikáció .
![{\displaystyle \forall ,\exists }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65054c57a79c67f0583388db198e359b2e24cc2)
![\Jobb nyíl](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
Jegyzetek
- Fontos, hogy a választás csak a nagyságtól függ, és mindenre alkalmas - ez megkülönbözteti az egyenletes folytonosságot a szokásos folytonosságtól.
![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
![\varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![x_{1},x_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188263943645114e27e316cc1be787861e5b67be)
- A fenti definíció könnyen általánosítható több változós függvény esetére [2] .
Példák
Funkció
folytonos a teljes definíciós tartományban, de nem egyenletesen folytonos, mivel bármely (tetszőlegesen kicsi) esetén megadható az argumentum értékeinek olyan szegmense , hogy a végén a függvény értékei jobban eltérnek. Ez annak köszönhető, hogy a függvény grafikonjának nulla körüli meredeksége korlátlanul nő.
![\varepsilon >0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![\varepsilon.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Egy másik példa: függvény
folytonos az egész számegyenesen, de nem egyenletesen folytonos, hiszen
Mindig lehetséges értéket választani bármely tetszőlegesen kis hosszúságú szegmenshez – úgy, hogy a függvény értékeinek különbsége a szegmens végén nagyobb legyen . a funkció hajlamos![\varepsilon >0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![\varepsilon /x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4659878bd88ab393bc0223adeded2b40e3c92ddd)
![f(x)=x^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddac4ae10b1aa4a11741c79771a583419fb1fb)
![\varepsilon.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
![{\displaystyle \left[x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da345bcafa9fedcb3329ef9e7f6832dfdd282f12)
Tulajdonságok
A definícióból azonnal három tulajdonság következik:
- Egy halmazon egyenletesen folytonos függvény azon folytonos .
ha kompakt .![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Egy halmazon egyenletesen folytonos függvény egyenletesen folytonos lesz annak bármely részhalmazán.
Egy korlátos intervallumon egyenletesen folytonos függvény mindig ezen az intervallumon korlátos [3] . Végtelen intervallumon egy egyenletesen folytonos függvény nem korlátos (például egy intervallumon ).![\ln x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)
Néhány kritérium egy függvény egyenletes folytonosságához
- Egységes folytonossági tétel ( Cantor - Heine ): az a függvény, amely egy zárt véges intervallumon (vagy bármely kompakt halmazon) folytonos, azon egyenletesen folytonos. Ezen túlmenően, ha a zárt véges intervallumot nyitottra cseréljük, akkor előfordulhat, hogy a függvény nem egyenletesen folytonos.
- Az egyenletesen folytonos függvények összege, különbsége és összetétele egyenletesen folytonos [4] . Előfordulhat azonban, hogy az egyenletesen folytonos függvények szorzata nem egyenletesen folytonos. Például [5] legyen Mindkét függvény egyenletesen folytonos helyen , de szorzata nem egyenletesen folytonos -on . Korlátozott intervallum esetén az egyenletesen folytonos függvények szorzata mindig egyenletesen folytonos [3] .
![{\displaystyle f(x)=x;\g(x)=\ln(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f0ab10ed63f10706fd65121b5249e93b431804)
![{\displaystyle x\geqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5be9e2bf8749eae51b89e7f561b4d74a375d61)
![{\displaystyle [1,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6470ffa3f8825a91419ded64f3654ddbabcb397a)
- Ha egy függvény definiált és folytonosan be van kapcsolva, és létezik véges határérték , akkor a függvény egyenletesen folytonos be . Más szóval, egy végtelen félintervallumon definiált függvény csak akkor lehet egyenletesen folytonos, ha a végtelenben lévő határértéke nem létezik, vagy végtelen [6] .
![f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b4b1f3c0ab25af57b6530b972867d598f625ac)
![[a,+\infty)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ca4c851d8982233134180d09ab38cdd65f90f0)
- Egy korlátos monoton függvény , amely az intervallumon (vagy a teljes valós egyenesen) folytonos, ezen az intervallumon egyenletesen folytonos [7] .
- Az egész számegyenesen folytonos és periodikus függvény az egész számegyenesen egyenletesen folytonos [8] .
- Az a függvény, amelynek egy intervallumon korlátos deriváltja van , ezen az intervallumon egyenletesen folytonos [9] .
A metrikus terek leképezéseinek egységes folytonossága
Definíció
Legyen adott két metrikus tér és![(X,\rho _{X})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c8cf9dce94d75837e7ee5974fd75f3e1ad0474)
Egy leképezést egyenletesen folytonosnak nevezünk egy részhalmazon , ha [4] :
![M\subsetX,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08c73d8e645763eccdd71d44b6ac89a71a282c1)
Tulajdonságok
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 178-180.
- ↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 370-372.
- ↑ 1 2 Butuzov et al. , p. tizenegy.
- ↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 786.
- ↑ Shibinsky, 2007 , p. 528 (2.7. bekezdés).
- ↑ Butuzov és mtsai , p. 6.
- ↑ Butuzov és mtsai , p. 7.
- ↑ Butuzov és mtsai , p. tíz.
- ↑ Butuzov és mtsai , p. nyolc.
Irodalom
- Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész 2. kiadás. M.: FAZIS 1997.
- Kolmogorov A. Η. , Φomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 5. kiadás, M., 1981.
- Kudrjavcev L. D. Egységes folytonosság // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 786. - 1216 stb. : ill. — 150.000 példány.
- Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 p.
- Shibinsky VM Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .
Linkek