Egységes folytonosság

Az egyenletes folytonosság a függvény azon tulajdonsága , hogy a definíciós tartomány minden pontján egyformán folytonos legyen. A matematikai elemzésben ezt a fogalmat a numerikus függvényekre vezetik be , a funkcionális analízisben tetszőleges metrikus terekre általánosítják .

A folytonosság fogalma egyértelműen azt jelenti, hogy az argumentum kis változtatásai kis mértékben változnak a függvény értékében. Az egyenletes folytonosság tulajdonsága további feltételt támaszt: az argumentum értékének eltérését korlátozó érték csak a függvény eltérésének értékétől függhet, de nem az argumentum értékétől, azaz alkalmas a funkció teljes tartományára.

A numerikus függvények egységes folytonossága

Definíció

Egy valós változó numerikus függvénye egyenletesen folytonos, ha [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Jobbra {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepszilon {\bigr ) },

hol van az egyetemesség és a létezés kvantor , illetve az implikáció . $\forall ,\exists$ $\Jobb nyíl$

Jegyzetek

Fontos, hogy a választás csak a nagyságtól függ, és mindenre alkalmas - ez megkülönbözteti az egyenletes folytonosságot a szokásos folytonosságtól. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

A fenti definíció könnyen általánosítható több változós függvény esetére [2] .

Példák

Funkció

f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)

folytonos a teljes definíciós tartományban, de nem egyenletesen folytonos, mivel bármely (tetszőlegesen kicsi) esetén megadható az argumentum értékeinek olyan szegmense , hogy a végén a függvény értékei jobban eltérnek. Ez annak köszönhető, hogy a függvény grafikonjának nulla körüli meredeksége korlátlanul nő. $\varepsilon >0$ $x$ $\varepsilon.$

Egy másik példa: függvény

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

folytonos az egész számegyenesen, de nem egyenletesen folytonos, hiszen

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Mindig lehetséges értéket választani bármely tetszőlegesen kis hosszúságú szegmenshez – úgy, hogy a függvény értékeinek különbsége a szegmens végén nagyobb legyen . a funkció hajlamos $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right]$ $2\varepszilon .$

Tulajdonságok

A definícióból azonnal három tulajdonság következik:

Egy halmazon egyenletesen folytonos függvény azon folytonos . $M$
- Fordítva igaz,
ha kompakt . $M$

Egy halmazon egyenletesen folytonos függvény egyenletesen folytonos lesz annak bármely részhalmazán.

Egy korlátos intervallumon egyenletesen folytonos függvény mindig ezen az intervallumon korlátos [3] . Végtelen intervallumon egy egyenletesen folytonos függvény nem korlátos (például egy intervallumon ).

\ln x

x\in (1;+\infty )

Néhány kritérium egy függvény egyenletes folytonosságához

Egységes folytonossági tétel ( Cantor - Heine ): az a függvény, amely egy zárt véges intervallumon (vagy bármely kompakt halmazon) folytonos, azon egyenletesen folytonos. Ezen túlmenően, ha a zárt véges intervallumot nyitottra cseréljük, akkor előfordulhat, hogy a függvény nem egyenletesen folytonos.
Az egyenletesen folytonos függvények összege, különbsége és összetétele egyenletesen folytonos [4] . Előfordulhat azonban, hogy az egyenletesen folytonos függvények szorzata nem egyenletesen folytonos. Például [5] legyen Mindkét függvény egyenletesen folytonos helyen , de szorzata nem egyenletesen folytonos -on . Korlátozott intervallum esetén az egyenletesen folytonos függvények szorzata mindig egyenletesen folytonos [3] . $f(x)=x;\g(x)=\ln(x).$ $x\geqslant 1$ $[1,+\infty )$
Ha egy függvény definiált és folytonosan be van kapcsolva, és létezik véges határérték , akkor a függvény egyenletesen folytonos be . Más szóval, egy végtelen félintervallumon definiált függvény csak akkor lehet egyenletesen folytonos, ha a végtelenben lévő határértéke nem létezik, vagy végtelen [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ $[a,+\infty)$
Egy korlátos monoton függvény , amely az intervallumon (vagy a teljes valós egyenesen) folytonos, ezen az intervallumon egyenletesen folytonos [7] .
Az egész számegyenesen folytonos és periodikus függvény az egész számegyenesen egyenletesen folytonos [8] .
Az a függvény, amelynek egy intervallumon korlátos deriváltja van , ezen az intervallumon egyenletesen folytonos [9] .

A metrikus terek leképezéseinek egységes folytonossága

Definíció

Legyen adott két metrikus tér és $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$

Egy leképezést egyenletesen folytonosnak nevezünk egy részhalmazon , ha [4] : $f\kettőspont X\Y-ra$ $M\subsetX,$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\big (} \rho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta {\big )}\Jobbra {\big (}\rho _{Y}{\big (}f(x_{1})) ,f(x_{2}){\big )}<\varepsilon {\big )}.

Tulajdonságok

Egy halmazon egyenletesen folytonos függvény azon folytonos . Ennek fordítva általában nem igaz. $M$
Egységes folytonossági tétel : Egy kompakton folytonos függvény, azon egyenletesen folytonos.
Bármely Lipschitz-leképezés egyenletesen folytonos.
Az egyenletesen folytonos leképezések összege, különbsége és összetétele egyenletesen folytonos [4] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 178-180.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 370-372.
↑ 1 2 Butuzov et al. , p. tizenegy.
↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 786.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 528 (2.7. bekezdés).
↑ Butuzov és mtsai , p. 6.
↑ Butuzov és mtsai , p. 7.
↑ Butuzov és mtsai , p. tíz.
↑ Butuzov és mtsai , p. nyolc.

Irodalom

Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész 2. kiadás. M.: FAZIS 1997.
Kolmogorov A. Η. , Φomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 5. kiadás, M., 1981.
Kudrjavcev L. D. Egységes folytonosság // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 786. - 1216 stb. : ill. — 150.000 példány.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 p.
Shibinsky VM Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Linkek

Butuzov V. F. , Levashova N. T., Shapkina N. E. Uniform continuity of functions of one változó. Kézikönyv a Moszkvai Állami Egyetem Fizika Tanszékének 1. évfolyamos hallgatói számára . Letöltve: 2019. május 3. (határozatlan)