Ötvenkilenc ikozaéder

Az Ötvenkilenc Icosahedra egy könyv, amelyet Harold  Coxeter , Patrick du Val , H. T. Flaser és J. F. Petrie írt és illusztráltak. A könyv felsorol néhány szabályos konvex ( platóni ) ikozaéder csillagalakját, amelyek a J. C. P. Miller által javasolt szabályrendszer szerint épültek fel .

A könyvet a University of Toronto Press adta ki 1938-ban. A második kiadást a Springer-Verlag adta ki 1982-ben. Keith és David Crennell teljesen átírta a szöveget, és újrarajzolta a lapokat és diagramokat az 1999-es harmadik kiadáshoz (Tarquin), valamint új referenciaanyagot és fényképeket adtak hozzá.

Szerzők hozzászólásai

Miller szabályai

Bár J. C. P. Miller nem közvetlenül írta a könyvet, Coxeter és Petrie közeli munkatársa volt. Hozzájárulásait megörökítette szabályrendszere, amely meghatározza, mely csillagképek tekinthetők "lényegesnek és megkülönböztethetőnek":

1. A lapoknak húsz síkon kell feküdniük, vagyis egy szabályos ikozaéder határoló síkjain.
2. Az arcokat alkotó összes résznek minden síkban azonosnak kell lennie, még akkor is, ha teljesen el vannak választva.
3. Bármely (egy) síkhoz tartozó részeknek trigonális szimmetriájúaknak kell lenniük reflexióval vagy anélkül. Ez ikozaéderes szimmetriát biztosít az egész test számára.
4. A kapott testben minden síkhoz tartozó alkatrésznek „hozzáférhetőnek” kell lennie (azaz „külsőnek” kell lenniük. Bizonyos esetekben hatalmas modelleket kell építenünk, hogy minden alkatrészt lássunk. Normál méretű modelleknél néhány alkatrész, bár „külső”, csak mászó rovarok által észlelhetők).
5. Kizárjuk azokat az eseteket, amikor az alkatrészek két halmazra oszthatók, amelyek egyenként nagyobb szimmetriájú testet adnak, mint maga az ábra. De megengedjük egy olyan enantiomorf pár összekapcsolását, amelynek nincs közös része (valójában ez csak egy esetben fordul elő).

Az első három szabály megfelel a homloksíkok szimmetriakövetelményeinek. A 4. szabály kizárja a belső üregeket, biztosítva, hogy ne legyen két egyforma csillagforma. Az 5. szabály kizárja az egyszerűbb formák inkoherens összetevőit.

Coxeter

Coxeter volt a munka fő mozgatórugója. Miller szabályai alapján végzett elemzéseket számos technikával, mint például a kombinatorika és az absztrakt gráfelmélet , amelyek geometriai alkalmazása akkoriban új volt.

Észrevette, hogy a csillag diagramja sok szegmenst tartalmaz. Ezután kidolgozott egy eljárást a szomszédos lapos régiók kombinációival való munkavégzéshez, hogy formálisan felsorolja azokat a kombinációkat, amelyek Miller szabályai alá esnek.

Az itt bemutatott grafikon a csillagdiagramban (lásd alább) ábrázolt különböző lapok összekapcsolhatóságát mutatja. A görög betűk egy sor lehetséges opciót határoznak meg:

Du Val

Du Val szimbolikus jelölést dolgozott ki a kongruett-sejtek halmazaira azon megfigyelés alapján, hogy ezek az eredeti ikozaéder körüli "héjon" fekszenek. Ennek alapján minden lehetséges kombinációt tesztelt Miller szabályaival szemben, megerősítve Coxeter analitikusabb megközelítésének eredményeit.

Flazer

Flaser hozzájárulása nem volt közvetlen – mind az 59 poliéderből kartonmodelleket készített. Mielőtt találkozott Coxeterrel, már sok csillagformát készített, köztük néhány poliédert, amelyek nem esnek Miller szabályai alá. Továbbra is dolgozott egy teljes sorozat létrehozásán, amelyet a Cambridge-i Egyetem (Anglia) matematikai könyvtárában tárolnak. A könyvtárban több nem milleri modell is található, de nem tudni, hogy később Flaser vagy Miller tanítványai készítették-e [1] .

Petri

John Flinders Petrie, Coxeter régi barátja, figyelemre méltó képességgel rendelkezett a figurák négydimenziós térben való ábrázolására. Coxeterrel számos matematikai problémán dolgoztak együtt. Közvetlen hozzájárulása a könyvhöz a sok tökéletes háromdimenziós rajzban rejlik, amelyek a könyv varázsát biztosítják.

Krennels

A harmadik kiadáshoz Keith és David Crennell teljesen átdolgozta a szöveget, és újrarajzolta az illusztrációkat és a betéteket. Hozzáadtak egy referencia részt is, amely táblázatokat, diagramokat és fényképeket tartalmaz néhány Cambridge-i modellről (akkor úgy gondolták, hogy mindegyiket Flazer készítette). Az index mind az 59 poliédert tartalmazta, sorszámmal a könyvben való megjelenés sorrendjében. A szerkesztés során számos hiba csúszott be. A javított oldalakat tartalmazó PDF-fájl online elérhető.

Ötvenkilenc ikozaéder listája

Coxeter előtt csak Brückner és Wheeler írt le néhány jelentős csillagkép-készletet, bár néhány, például a nagy ikozaéder, már ismert. Az 59 ikozaéderről szóló könyv megjelenését követően Wenninger utasításokat adott ki a sorozat néhány modelljének megépítéséhez. A könyvében elfogadott számozási séma széles körben elterjedt, bár csak néhány csillagformát adott meg.

Jegyzetek

A számozást a Krennelek végzik, hacsak másképp nem jelezzük.

Krennels

• A harmadik kiadásban Krennel által hozzáadott számozásban az első 32 modell (1-32. számok) tükörszimmetrikus , az utolsó 27 (33-59. számok) pedig királis , és csak a jobb oldali forma szerepel a könyv. A számozás a poliéderek könyvben való megjelenési sorrendjének felel meg.

VRML

• Hivatkozás a Hart által készített VRML 3D grafikus fájlokhoz .

sejteket

• Ha a tér bármely pontját egy szakaszon köti össze az ikozaéder középpontjával, és megszámolja a szakasz metszéspontjainak számát az ikozaéder lapjainak síkjaival, akkor megkapja a pont szintjét (nem számítva azt a síkot, amelyen a pont maga lehet). Minden olyan pont, amelynek szintje nem halad meg egy bizonyos értéket, valamilyen poliédert alkot . Egy szabályos ikozaéder esetében 8 ilyen poliéder lehetséges, amelyeket nagybetűkkel jelölünk A , B , C , …, H , ahol A  az eredeti ikozaéder (0. szint). Vannak 8-as vagy magasabb szintű pontok, de a megfelelő sugarak a végtelenbe mennek, és az ilyen pontokat nem veszik figyelembe.
• Az azonos szintű pontok egy héjat alkotnak . Du Val jelölésében a kagylókat ugyanazokkal a betűkkel számozzák, mint a poliédereket, de nagybetűkkel. A héjak sejtekből állnak .
• Néhány cellát két típusra osztanak, indexeket kapnak. Például az e csoportba tartoznak az e1 és e2 cellák . Az f 1 halmaz tovább oszlik jobb és bal formákra, amelyeket f 1 (közönséges betű) és f 1 (ferde) jelöl. Ahol az összes szint jelen van, ott nagybetűvel írják, helyettesítve a teljes sorozatot, például a + b + c + e 1 Ce 1 -ként van írva .

Szempontok

• Minden csillag alakzat meghatározható csillagdiagrammal . A fenti diagramon a színes számozott területek azokat a részeket mutatják, amelyeknek együtt kell megjelenniük, ha teljes ikozaéderes szimmetriát akarunk elérni. A diagram 13 ilyen készletet tartalmaz. Némelyikük királis párokra oszlik (nincs ábrázolva), így forgásszimmetrikus, de tükörszimmetrikus csillagformákat adnak. A táblázatban az alulról látható arcokat aposztróf jelöli, például 3' .

Weninger

• A számok és a számozott nevek megfelelnek M. Wenninger Models of Polyhedra című könyvében szereplő megjelenési sorrendnek . A sorrend általában véletlenszerű (a könyv szerkesztői önkényesen választották), és nincs matematikai értelme. Wenninger könyvében csak néhány modell ikozaéder. A nevüket rövidített formában adjuk meg, a „... ikozaéder” szavakat kihagyjuk (például a táblázatban a „Az ikozaéder második csillagképe” helyett „Az ikozaéder második csillagképe”).

Wheeler

• Wheeler egy csillagdiagram szegmenseinek kiválasztásával találta meg alakjait. Ezt a folyamatot gondosan elhatárolta Kepler klasszikus csillagképétől . Coxeter és munkatársai figyelmen kívül hagyták ezeket a különbségeket.

Brueckner

• Brückner sok poliéder modelljét készített és fotózott, amelyek közül csak néhány volt ikozaéder.

Megjegyzések

• A 8- ast Echidnaédernek nevezik , mert felületesen hasonlít a tűvel borított echidnára . Ez a név nem kapcsolódik Kepler által a Kepler - Poinsot-testek echidnae -ként való leírásához .

Ötvenkilenc ikozaéder táblázat

Lásd még

• Wenninger Polyhedra modellek listája – Wenninger Models of Polyhedra  című könyve 21 modellt tartalmaz ebből a listából.
• Ikozaéder szimmetriájú testek

Jegyzetek

1. ↑ Igazi elveszett csillagképek . Letöltve: 2015. november 14. Az eredetiből archiválva : 2016. március 13. (határozatlan)

Irodalom

• Max Bruckner. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . - Lipcse: BG Treubner, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .  (német) angol kiadás: Polygons and Polyhedra: Theory and History .
• H.S.M. Coxeter , Patrick du Val H.T. Flather, J.F. Petrie. Az ötvenkilenc ikozaéder. - Torontói Egyetem tanulmányai, 1938. - (matematikai sorozat 6: 1-26.). Harmadik kiadás (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3. (Angol)
• Magnus J. Weninger . Poliéder modellek. – Puhakötésű kiadás (2003). - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 978-0-521-09859-5 .  (Angol)
• M. Weninger. poliéder modellek. - "Mir", 1974.
• A. H. Wheeler. Az ikozaéder egyes formái és egy módszer a magasabb poliéderek származtatására és kijelölésére. — A Matematikusok Nemzetközi Kongresszusának anyaga . - Toronto, 1924. - T. 1. - S. 701-708.  (Angol)

Linkek

•  Példák az ikozaéder csillagképeire
•  A szabályos ikozaéder ötvenkilenc csillagképe
• Weisstein, Eric W. Ötvenkilenc ikozaéder csillagkép  (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
• Weisstein, Eric W. Echidnahedron  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
•  Az ikozaéder csillagképei
• George Hart, Az Icosahedron 59 csillagképe  – VRML 3D fájlok. (Angol)