Gram-Schmidt eljárás

A Gram - Schmidt folyamat lineárisan független vektorok sorozatát ortonormális vektorrendszerré alakítja át oly módon, hogy minden vektor lineáris kombinációja . ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ $\mathbf{e}_j$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

A klasszikus Gram-Schmidt eljárás

Algoritmus

Legyenek lineárisan független vektorok , és legyen egy vektor vetületi operátora a következőképpen definiált vektorra ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ $\mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

{\mathbf {proj}}_{{\mathbf {b}}}}\,{\mathbf {a}}={\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle \ több mint \langle {\mathbf {b)),{\mathbf {b}}\rangle }{\mathbf {b)),

ahol a vektorok skaláris szorzata és . $\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

A klasszikus Gram-Schmidt eljárást a következőképpen hajtják végre:

{\begin{array}{lclr}\mathbf {b} _{1}&=&\mathbf {a} _{1}&(1)\\\mathbf {b} _{2}&= &\mathbf {a} _{2}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{2}&(2)\\\mathbf {b} _{3}&=&\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj } _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}&(3)\\&\dots &&\\\mathbf {b} _{n}&=&\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _ {2}}\,\mathbf {a} _{n}-\dots -\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{n-1}}\,\mathbf {a} _{n}& (n)\end{tömb}}

Az egyes vektorok alapján egységnyi hosszúságú normalizált vektort kaphatunk , amelyet a következőképpen definiálunk: $\mathbf {b} _{j}\;(j=1\ldots n)$ $\mathbf{e}_j$

{\mathbf {e}}_{j}={{\mathbf {b}}_{j} \over \|{\mathbf {b}}_{j}\|}

A Gram-Schmidt eljárás eredménye:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ ortogonális vektorok rendszere ill

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ ortonormális vektorok rendszere.

A számítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak és Gram-Schmidt ortonormalizációnak nevezik. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$

Geometriai értelmezés

Tekintsük a (2) képletet, az algoritmus második lépését. Geometriai ábrázolása az ábrán látható. egy:

a vektor vetületének ráadása ; ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
számítása , vagyis a -ra vetített merőleges . Ez a merőleges a (2) képletben kiszámított vektor ; ${\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
a 2. lépésben kapott vektort az origóba mozgatjuk. Ez a mozgás az ábrán csak az áttekinthetőség kedvéért látható; ${\mathbf {b}}_{2}$

Az ábrán látható, hogy a vektor merőleges a vektorra , mivel ez az a merőleges, amelyre vetítve van . ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$

Tekintsük a (3) képletet, az algoritmus harmadik lépését a következő változatban:

{\begin{array}{lcr}{\mathbf {b}}_{3}={\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b} }_{1))}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_ {3})&&(6)\\\end{tömb}}

Geometriai ábrázolása az ábrán látható. 2:

a vektor vetületének ráadása ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
a vektor vetületének ráadása ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
összegének kiszámítása , vagyis a vektor vetülete a és vektorok által alkotott síkra . Ez a sík az ábrán szürkével van árnyékolva; ${\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b }}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
számítás , vagyis a merőleges, amelyet a és a vektorok alkotta síkra vetítünk . Ez a merőleges a (6) képletben kiszámított vektor ; ${\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\) mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3})$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$
mozgó kapott az origóba. Ez a mozgás az ábrán csak az áttekinthetőség kedvéért látható. Ez nem matematikai művelet, ezért nem tükrözi a (6) képlet. ${\mathbf {b}}_{3}$

Az ábrán látható, hogy a vektor merőleges a és vektorokra , mivel ez egy merőleges, amely mentén a és vektorok által alkotott síkra vetül . ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$

Így a Gram-Schmidt folyamatban a vetítést ortogonálisan hajtják végre a vektorok által átívelt hipersíkra . Ezután a vektort a vetülete és a különbségeként számítjuk ki . Vagyis a vektorok által átívelt hipersíkra merőleges . Ezért ortogonális a hipersíkot alkotó vektorokra. ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$

Különleges alkalmak

A Gram-Schmidt eljárás lineárisan független vektorok végtelen sorozatára is alkalmazható.

Ezenkívül a Gram-Schmidt eljárás alkalmazható lineárisan függő vektorokra. Ebben az esetben a lépésben egy (nulla vektort) állít elő, ha vektorok lineáris kombinációja . A kimeneti vektorok ortogonalitásának megőrzése és az ortogonalizálás során a nullával való osztás elkerülése érdekében az algoritmusnak el kell vetnie a nulla vektorokat. Az algoritmus által előállított vektorok száma megegyezik a vektorok által generált altér dimenziójával (azaz az eredeti vektoroktól megkülönböztethető lineárisan független vektorok számával). $\mathbf {0}$ $j$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{{j-1}}$

Tulajdonságok

A közötti átmenet mátrix egy felső háromszög mátrix . ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$

A hosszúságok szorzata megegyezik a rendszer vektoraira, mint az élekre épített paralelepipedon térfogatával . ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

A Gram–Schmidt folyamat a mátrix oszlopvektoraira határozza meg a homotópia ekvivalenciát . $GL(n)$ $GL(n)\to O(n)$

További értelmezések

A Gram–Schmidt folyamat úgy értelmezhető, mint egy nem degenerált négyzetmátrix felbontása egy ortogonális (vagy hermitikus tér esetén unitér ) és egy pozitív átlós elemekkel rendelkező felső háromszögmátrix szorzatára, a QR dekompozícióra , amely egy az Iwasawa dekompozíció speciális esete .

Irodalom

Beklemishev DV Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy. — M .: Nauka .

Linkek

https://www.youtube.com/watch?v=GhhpG1tCQLU A folyamat animációja a repülőgépen