Pillanatok generáló függvénye

A pillanatok generáló függvénye a valószínűségi eloszlások megadásának egyik módja . Leggyakrabban pillanatok kiszámítására használják .

Definíció

Legyen egy eloszlású valószínűségi változó . Ekkor a pillanatokat generáló függvénye egy függvény, amelynek alakja: $x$ $\mathbb {P} ^{X}$

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]

A matematikai elvárás kiszámítására szolgáló képletek segítségével a pillanatok generáló függvényének definíciója átírható a következőképpen:

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

vagyis a momentumok generáló függvénye egy valószínűségi változó eloszlássűrűségének kétoldali Laplace-transzformációja (a visszaverődésig).

Ha a valószínűségi változó diszkrét , azaz , akkor $x$ $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\lpont$

M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}

Példa. Legyen egy Bernoulli-eloszlás . Akkor $x$

M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q

Ha a valószínűségi változó abszolút folytonos , azaz sűrűsége van , akkor $x$ $f_{X}(x)$

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx

Példa. Legyen szabványos folytonos egyenletes eloszlása . Akkor $X\simU[0,1]$

M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}

A momentumgeneráló függvények tulajdonságai sok tekintetben hasonlóak a karakterisztikus függvények tulajdonságaihoz, definícióik hasonlósága miatt.

A pillanatgeneráló függvény egyedileg határozza meg az eloszlást. Legyen két valószínűségi változó, és . Akkor . Különösen, ha mindkét mennyiség abszolút folytonos , akkor a momentumok generáló függvényeinek egybeesése a sűrűségek egybeesését vonja maga után. Ha mindkét valószínűségi változó diszkrét , akkor a pillanatok generáló függvényeinek egybeesése magával vonja a valószínűségi függvények egybeesését. $X,Y$ $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
A pillanatok generáló függvénye egy valószínűségi változó függvényében homogén:

M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

A független valószínűségi változók összegének momentumainak generáló függvénye egyenlő a pillanatok generáló függvényeinek szorzatával. Legyenek független valószínűségi változók. Jelöljük . Akkor $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right \vert _{t=0}