Lagrange-származék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Lagrange derivált , más néven szubsztantív derivált vagy anyagszármazék , egy u sebességgel mozgó koordináta-rendszer függvényében felvett derivált , és gyakran használják a folyadékmechanikában és a klasszikus mechanikában . Meghatározható a koordináták és az idő skalárfüggvényéből és egy vektorból is : $\phi ({\vec {r)),t)$ ${\vec {v}}({\vec {r}}),t)$

{\frac {D\phi }{Dt))={\frac {\partial \phi }{\partial t))+({\mathbf {u))\cdot \nabla )\phi

{\frac {D{\mathbf {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \ nabla ){\mathbf {v}}

ahol a nabla operátor , és jelöli a parciális deriváltot t vonatkozásában. A második tag ennek a függvénynek a konvektív deriváltja . $\nabla$ ${\frac {\partial }{\partial t))$

A következő azonosság igaz, ha az integrál Lagrange deriváltját vesszük :

{\frac {D}{Dt}}\int \limits _{{V(t)}}f({\mathbf {x}})\,dV=\int \limits _{{V(t))) ) \left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f{\mathbf {u}})\right)\,dV=\int \limits _{{V(t ) }}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot {\mathbf {u}})\right)\,dV

Bizonyítás

Bizonyítás az összetett függvények differenciálási szabályán keresztül parciális deriváltokra. Tenzor jelöléssel (Einstein összegzési konvenciójával) a következőket írhatjuk:

\left[{\frac {d{\mathbf {B}}}{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t ,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+{\frac {\partial B_{j)){\partial x_{i))}{\ frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t} }{\frac {\partial }{\partial x_{i))}B_{j}={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+\left[({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\right]_{j}

Lásd még

Konvektív derivált