Projektív transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A projektív sík projektív transzformációja olyan transzformáció , amely vonalakat egyenesekké alakít.

Definíció

A projektív transzformáció egy projektív tér egy az egyhez leképezése önmagára, amely megőrzi az összes altér részben rendezett halmazának sorrendi viszonyát. $\phi$

Az egyenes projektív transzformációja egy egyenes olyan bijektív transzformációja, amely harmonikus négyes pontokat felvesz harmonikus négyes pontokká.

Egy sík projektív transzformációja a projektív sík egy - egy leképezése önmagára úgy, hogy bármely közvetlen vonal esetén a kép egyben közvetlen vonal is. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\pi$ $l\alhalmaz\pi$ $\phi (l)$

Tulajdonságok

A projektív transzformáció megőrzi a duális relációt .
A projektív transzformáció a projektív sík ponthalmazának egy az egyhez leképezése, és egyben az egyenesek halmazának egy az egyhez leképezése is.
A projektív inverze leképezése egy projektív leképezés. A projektív leképezések összetétele egy projektív leképezés. Így a projektív leképezések halmaza egy csoportot alkot .
A központi vetítés a projektív transzformáció speciális esete.
Az affin transzformáció a projektív transzformáció speciális esete.
A sík minden vonala a sík projektív transzformációja alatt projektíven leképeződik valamilyen egyenesre. A sík minden sugárkötege projektíven van leképezve egy sugárkötegre.
Egy egyenes projektív transzformációját a leképezésnek megfelelő három pontpár megadásával határozzuk meg. Ezt az állítást néha a projektív geometria alaptételének is nevezik.
Egy sík projektív transzformációját négy pontpár megadásával határozzuk meg, amelyek megfelelnek a leképezésnek, és a négy képből vagy előképből nem található három pont ugyanazon az egyenesen. Nem azonos leképezés esetén a rögzített pontok száma legfeljebb három.
Egy sík minden projektív transzformációját a neki megfelelő háromdimenziós tér reverzibilis lineáris transzformációja adja . Homogén koordinátákban a következő egyenletek képviselik: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{cases}}$

és .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspektíva

Legyen 2 különálló egyenes a projektív síkon és egy O pont, amely nem tartozik hozzájuk . Egy egyenes perspektivikus leképezése O középpontú egyenesre egy leképezés , ahol egy tetszőleges pontra a pont és metszéspontjaként található . Ezt a leképezést a következőképpen jelöljük: " egyenes vonallá fordítva egy perspektivikus leképezéssel, amelynek középpontja O " vagy a következőképpen: "a pontokat az O -nál középpontos perspektivikus leképezés fordítja át pontokká ". ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ ${\displaystyle u_{2))$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

A perspektivikus leképezés bijektív, megőrzi az egyenesek metszéspontját , és megőrzi a pont négyesének duális kapcsolatát . ${\displaystyle u_{1},u_{2))$

Bármely vonalról vonalra történő projektív leképezés ábrázolható perspektivikus leképezések összetételeként. A projektív leképezést jelöljük $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involúció

A projektív transzformációt involúciónak nevezzük , ha bármely P pontra igaz, hogy . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Ha involúció, akkor . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Ha egy egyenes projektív transzformációjának legalább egy P pontja van , akkor involúció. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Ha a projektív egyenes nem azonos involúciójának vannak fix pontjai, akkor ezek száma kettő vagy nulla. A 2 fixpontos involúciót hiperbolikusnak nevezzük. A hiperbolikus involúció felcseréli azokat a pontokat, amelyek harmonikusan konjugálnak a rögzített pontokhoz képest. A rögzített pontok nélküli involúciót elliptikusnak nevezzük.

Az involúciót két pár megfelelő pont megadásával határozzuk meg.

Egy teljes négyszög három ellentétes oldalpárja metszi tetszőleges (egy csúcson át nem haladó) egyenest ugyanazon involúció három pontpárjában (ezt az állítást Desargues-tételnek nevezik, bár eredete Eukleidész IV. lemmájának tulajdonítható Porizmusok az Alexandriai Pappus matematikai gyűjtemény VII. kötetében ).

Kollineációk és összefüggések

A kollineáció olyan transzformáció, amely pontokat pontokká, vonalakat vonalakká visz, és megőrzi a pontok és vonalak előfordulási arányát, valamint bármely négy kollineáris pont kettős arányát. A kollineációk egy csoportot alkotnak. A kollineáris pontok négyesének kettős arányának megőrzésének követelménye felesleges, de nehéz bizonyítani. A kollineációkat együtt tekintjük a korrelációkkal - a projektív sík transzformációival, amelyek a pontokat vonalakká, a vonalakat pedig pontokká alakítják, és megőrzik a beesési relációt. Egy példa a korrelációra a poláris megfeleltetés, vagyis egy olyan leképezés, amely egy pontot a polárisra visz a kúpszelethez képest , és egy egyenest a pólusához.

Homológia

A homológia egy nem azonos kollineáció, amelyhez létezik egy pontonkénti rögzített p egyenes , amelyet homológiatengelynek nevezünk.

Bármilyen homológiához létezik egy fix P pont (homológia középpont), amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden ráeső vonal rögzített. A P középponton és a p tengely pontjain kívül a fixpontok homológiájának nincs fix pontja. Ha , akkor a homológiát parabolikusnak, egyébként hiperbolikusnak nevezzük. $P\in p$

Síkhomológia esetén a pont és képe a homológia középpontjával egy egyenes vonalon fekszik, az egyenes és képe pedig a homológia tengelyén metszi egymást.

A homológia megadható egy középponttal, egy tengellyel és egy megfelelő egyenes párral. A homológiát a középpont, a tengely stb. -től eltérő homológia állandó . $0,1,\infty$

Lásd még

Irodalom

D. A. Grave . Homográfia // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
P. S. Alekszandrov . Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy. - M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. A projektív geometria alapjai. - M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Valódi projektív sík / szerk. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. Mi a matematika?
N. V. Efimov . Magasabb geometria . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Projektív geometria. Tankönyv a "Geometria" kurzusról hallgatóknak, részidős hallgatóknak a fizikai és matematikai karok II-III. - M . : Oktatás, 1980.