Határpont

Egy halmaz határpontja az általános topológiában egy olyan pont, amelynek bármely átszúrt környéke metszi ezt a halmazt.

A határpontok meghatározása és típusai

Egy pontot egy részhalmaz határpontjának nevezünk egy topológiai térben , ha a pont minden kiszúrt szomszédságában van egy nem üres metszéspont -val. $x$ $A$ $x$ $x$ $A$

Egy pontot részhalmaz - felhalmozási pontnak nevezünk , ha a pont minden szomszédságában végtelen sok közös pont van. A T 1 -terekre (azaz olyan terekre, amelyekben minden pont (egypontos halmaz) zárva van) a határpont és a felhalmozási pont fogalma egyenértékű. $x$ $A$ $x$ $A$

Egy pontot részhalmaz kondenzációs pontnak nevezünk , ha a pont minden környezete megszámlálhatatlan ponthalmazt tartalmaz . $x$ $A$ $x$ $A$

Egy pontot akkor nevezünk egy részhalmaz teljes felhalmozódásának pontjának, ha a pont bármely környezetében a metszéspont hatványa egyenlő a halmaz hatványával . $x$ $A$ $U$ $x$ $U\sapka A$ $A$

Kapcsolódó fogalmak és tulajdonságok

Egy pontot egy részhalmaz érintőpontjának nevezünk egy topológiai térben , ha a pont minden szomszédságában van egy nem üres metszéspont -val. Egy halmaz összes érintési pontjának halmaza jelenti a halmaz lezárását . $x$ $A$ $x$ $x$ $A$ $A$ $\bár A$

Egy pontot izoláltnak mondunk , ha van olyan környéke, amelynek nincs más közös pontja, mint . Egy részhalmaz a -ban , amely ebből az egy pontból áll, nyitott -ben (az indukált topológiában ). $x\in A$ $A$ $x$ $A$ $A$

Így bármely halmaz összes érintési pontja (vagyis a lezárási pontok ) két típusra oszlik: határ- és elszigetelt pontokra . Az utóbbi egy részhalmazt alkot , míg az előbbi tartozhat hozzá, vagy nem. $A\X részhalmaz$ $\bár A$ $A$ $A$

Egy halmaz összes határpontjának halmazát derivált halmazának nevezzük és jelöljük . A készlet minden határpontja benne van a zárásában . Sőt, igaz a következő egyenlőség: , amelyből könnyen megkapható a következő részhalmazok zártsági kritériuma : Az A halmaz akkor és csak akkor zárt, ha tartalmazza az összes határpontját. $A$ $A'$ $\bár A$ ${\bar A}=A\pohár A'$

Ha a halmaz határpontja , akkor van egy iránya a pontokból , amelyek a -hoz konvergálnak . $x$ $A$ $A$ $x$

A metrikus terekben , ha a halmaz határpontja , akkor van egy pontsorozat a konvergálástól a -ig . Azokat a topológiai tereket, amelyekre ez a tulajdonság vonatkozik, Fréchet-Urysohn tereknek nevezzük . $x$ $A$ $A$ $x$
Egy topológiai tér akkor és csak akkor kompakt , ha minden végtelen részhalmaza rendelkezik legalább egy teljes halmozódási ponttal . $x$ $x$

Egy topológiai tér akkor és csak akkor megszámlálhatóan kompakt , ha minden végtelen részhalmaza rendelkezik legalább egy szigorú határponttal a -ban . Minden kompakt megszámlálhatatlanul kompakt. A metrikus terekre fordítva is igaz (a metrikus tér tömörségének kritériuma): a metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha megszámlálhatóan kompakt. $x$ $x$

(Különösen, mivel egy szakasz kompakt, megszámlálhatóan kompakt. Ezért egy egyenes minden végtelen korlátos részhalmazának van legalább egy határpontja.)

Egy Hausdorff-térben lévő zárt halmazt tökéletesnek nevezünk, ha minden pontja határérték (vagyis ha a halmaz nem tartalmaz elszigetelt pontokat). A tökéletes halmazokra példa a vonalszakasz, a Cantor halmaz .

Példák

Tekintsük a valós számok halmazát a nyílt intervallumok által generált standard topológiával . Ezután a topológiával kapcsolatban a következőket kapjuk: $\mathbb {R}$
- $(a,b)'=[a,b];$
- ${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$ ahol a
racionális számok halmaza ; $\mathbb {Q}$
${\mathbb {Z}}'=\varnothing ,$ ahol az egész számok halmaza ; $\mathbb {Z}$

Legyen az első megszámlálhatatlan sorszámú . Tekintsük - sorszámú sorrend topológiával . A pont a halmaz határpontja , de ennek a halmaznak nincs olyan elemsorozata, amely a halmazhoz konvergálna .

\omega_{1}

[0,\omega _{1}]

\omega _{1}+1

\omega_{1}

[0,\omega _{1})

\omega_{1}

Egy számkészlet határpontja

Konkrétan egy végtelen számú elemet tartalmazó numerikus halmaz határpontja a számegyenesen lévő pont, amelynek bármely szomszédságában ennek a halmaznak végtelen sok eleme van. Egy ilyen halmaz határpontját is figyelembe vehetjük, ha egyes elemeiből végtelenül nagy sorozatot lehet összeállítani páronként eltérő negatív elemekkel. Ha lehetséges egy végtelenül nagy sorozatot összeállítani páronként eltérő pozitív elemekkel, akkor ez határpontnak tekinthető [1] . $-\infty$ $+\infty$

Egy számhalmaz felső határpontja a legnagyobb határpontja.

Egy számhalmaz alsó határpontja a legkisebb határpontja.

Tulajdonságok

Minden végtelen számú elemet tartalmazó korlátozott számú halmaznak van felső és alsó határpontja is (a valós számok halmazában ). Ha hozzáadjuk a valós számok halmazához és , akkor a kapott halmazban minden végtelen számú elemű numerikus halmaznak van határpontja. $-\infty$ $+\infty$

Bármely korlátozott számú, végtelen számú elemet tartalmazó numerikus halmaz elemei közül kiemelhetünk egy konvergens sorozatot, amelynek elemei páronként különböznek egymástól.

Egy számsorozat határpontja

Egy sorozat határpontja bármely szomszédságában lévő pont, amelynek végtelen sok eleme van ennek a sorozatnak [1] .

x

a sorozat határpontja

\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{ i}-x\right|<\varepszilon

Egy sorozat legnagyobb határpontját felső határának , a legkisebb határpontját pedig alsó határának nevezzük .

Néha a " " és a " " szerepel a lehetséges határpontok halmazában. Tehát, ha egy végtelenül nagy részsorozat kiválasztható egy sorozatból, amelynek minden eleme negatív, akkor azt mondják, hogy " " ennek a sorozatnak a határpontja. Ha a sorozatból ki lehet választani egy végtelenül nagy, kizárólag pozitív elemekkel rendelkező részsorozatot, akkor azt mondják, hogy " " a határpontja [1] . Ebben az esetben természetesen a sorozatnak más határpontjai is lehetnek. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

Tulajdonságok

Egy pont akkor és csak akkor egy sorozat határpontja, ha ebből a sorozatból ki lehet választani egy olyan részsorozatot , amely ehhez a ponthoz konvergál (vagyis a pont a sorozat részleges határa ). $x$ a sorozat határpontja $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{{n=1} }^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim _{{n\to \infty }}x_ {{k_{n}}}=x$ Néha ezt a tulajdonságot definíciónak tekintik, és a fenti definíció egy tulajdonság.
Minden konvergens számsorozatnak csak egy határpontja van. $x,x'$ a sorozat határpontjai $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow x =x'$
Bármely konvergens numerikus sorozat határpontja egybeesik a határértékével . $x$ a sorozat határpontja $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \ lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$
Bármely véges ponthalmazhoz létrehozhatunk egy sorozatot, amelynél ezek a pontok lesznek határpontok, és nem mások, mint ők.
Egy tetszőleges számsorozatnak legalább egy határpontja van ( valós vagy végtelen ).

Példák

Az egyesek sorozatának van egy egyedi határpontja 1 (bár ez nem a sorozat elemei értékkészletének határpontja, amely egy elemből áll). $\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
A sorozat egyetlen határpontja 0. $\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
A természetes számok sorozatának nincs határpontja (vagy más szóval határpontja van ). $\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $+\infty$
A sorozatnak két határpontja van: −1 és +1. $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Az összes racionális számból álló sorozatnak , tetszőlegesen számozva, végtelen sok határpontja van. $\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Irányhatár pont

Legyen a topológiai tér elemeinek iránya . Ekkor irányhatárpontnak nevezzük , ha a pont bármely környezetére és bármelyikre van olyan index , hogy és ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $x$ $x$ $U$ $x$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta \in \mathrm {A}$ $\beta \geqslant \alpha$ $x_{\beta }\in U$

Tulajdonságok

Egy pont akkor és csak akkor irányhatárpont, ha létezik az adott ponthoz konvergáló részirány.
- Konkrétan egy pont akkor és csak akkor egy sorozat határpontja, ha létezik az adott ponthoz konvergáló részirány .
- Ha egy topológiai tér minden pontjának van megszámlálható bázisa, akkor az előző bekezdésben részsorozatokról beszélhetünk.

Példák

Legyen - növekvő sorrendben irányítva. Az iránynak egyetlen határpontja van a topológiai térben . $A=[0,1)$ ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A))$ ${egy}$ $[0, 1]$

Lásd még

elszigetelt pont

Jegyzetek

↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 3. fejezet. Határok elmélete // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92-105. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Irodalom

Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
L.V. Kantorovich , G.P. Akilov . Funkcionális elemzés. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.