Tökéletes készlet

A tökéletes halmaz olyan zárt halmaz , amelynek nincsenek elszigetelt pontjai , azaz egybeesik az összes határpontjának halmazával.

Példák

A sehol sem sűrű, tökéletes készlet klasszikus példája a Cantor készlet .

Tulajdonságok

Az euklideszi tér bármely nem üres tökéletes halmaza rendelkezik a kontinuum számosságával (a Cantor-tétel általánosítása, miszerint a valós tengely egy szakaszán minden tökéletes halmaz rendelkezik a kontinuum számosságával) [1] .
Bármely halmaz kondenzációs pontjainak halmaza tökéletes.

A Cantor-Bendixon tétel

A Cantor-Bendixon tétel állítás bármely megszámlálhatatlan zárt halmaz szerkezetére vonatkozóan . Ezt a tételt egy metrikus tér megszámlálható bázisú részhalmazaira általánosítják (lásd Lindelöf tétel ).

Megfogalmazás

Bármely megszámlálhatatlan zárt halmaz a kondenzációs pontjai tökéletes halmazának és legfeljebb más pontok megszámlálható halmazának az összege . $M$

Bizonyítás

A bizonyítás három tételen alapul. A 2. és 3. tételből következik. Bizonyításához elegendő megjegyezni, hogy a zártság miatti kondenzációs pontok halmaza . $N\subset M$ $M$

1. tétel

Ahhoz, hogy egy pont a halmaz kondenzációs pontja lehessen , szükséges és elégséges, hogy a pont bármely racionális környezete megszámlálhatatlan ponthalmazt tartalmazzon -ból . $a$ $M$ $a$ $M$

Magyarázatok

Egy pont racionális környezete bármely olyan intervallum, amelynek racionális végei tartalmazzák ezt a pontot, és amely nem feltétlenül az intervallum középpontja. $a$

Bizonyítás Szükségesség

Legyen egy kondenzációs pont és a pont tetszőleges racionális szomszédsága . Válasszunk . Ekkor a pont környéke teljesen beleesik . Mivel egy kondenzációs pont, akkor , és így és , megszámlálhatatlan ponthalmazt fog tartalmazni -ból . $a$ $(r',r'')$ $a$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $(r',r'')$ $a$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$

Elegendőség

Legyen egy pont bármely racionális környezete egy megszámlálhatatlan ponthalmazt -ból . Tekintsük a pont tetszőleges környékét , és legyen és legyen két racionális szám, amelyek rendre és között és között és között helyezkednek el . Ekkor egy teljesen racionális szomszédság kerül a szomszédságba , és vele együtt megszámlálhatatlan ponthalmaz -ból . De ez azt jelenti, hogy van egy kondenzációs pont. $a$ $M$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $a$ $a$ $a+\delta$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$ $a$

2. tétel Megfogalmazás

Minden megszámlálhatatlan halmaz tartalmazza a kondenzációs pontjainak megszámlálhatatlan halmazát . $M$

Bizonyítás

Legyen olyan pontok halmaza , amelyek nem kondenzációs pontjai a halmaznak . Ha , akkor nincs mit bizonyítani. Hagyjuk és . Mivel nem kondenzációs pontról van szó , a pontnak van egy racionális szomszédsága, amely legfeljebb egy megszámlálható ponthalmazt tartalmaz -ból , beleértve a -ból származó pontokat is . Így a teljes halmaz bezárható valamilyen racionális intervallumrendszerbe, amelyek mindegyike legfeljebb megszámlálható számú pontot tartalmaz -ból . Mivel minden racionális intervallumnak van megszámlálható halmaza, ebből az következik, hogy az is legfeljebb megszámlálható. Ekkor — a halmaz kondenzációs pontjainak halmaza megszámlálhatatlan. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \ in R$ $x$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\backslash R$ $M$

3. tétel Megfogalmazás

Egy megszámlálhatatlan halmaz kondenzációs pontjainak halmaza tökéletes. $N$ $M$

Bizonyítás

Először is mutassuk meg, hogy zárva van. Legyen és egy tetszőleges racionális intervallum, amely a pontot tartalmazza . Megfelelően kis intervallum esetén az intervallum teljes egészében belülre esik . Mivel a kondenzációs pontok halmazának határpontja, legalább egy kondenzációs pontot tartalmaz , és vele együtt a pont valamely szomszédságát . De akkor ez a szomszédság, és így a , is egy megszámlálhatatlan ponthalmazt tartalmaz -ból , és mivel a pont tetszőleges racionális szomszédsága , vagyis a kondenzációs pont, azaz . Mutassuk meg, hogy nem tartalmaz elszigetelt pontokat. Legyen egy tetszőleges pont a pontból és legyen a pont tetszőleges környéke . Ekkor ez a környék egy megszámlálhatatlan ponthalmazt tartalmaz -ból . Vegyünk egy megszámlálhatatlan halmazt . Az 1. tétel szerint a kondenzációs pontjainak megszámlálhatatlan halmazát tartalmazza. Minden egyes kondenzációs pont egyben kondenzációs pont is a számára . Ezért egy megszámlálhatatlan ponthalmaz -ból , és így nem elszigetelt pontja ennek a halmaznak, bejut. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $\delta$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $x$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $N$ $x_{{0}}$

Jegyzetek

↑ Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 p.

Irodalom

Sobolev VI Előadások a matematikai elemzés további fejezeteiről. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.