Pöschl-Teller potenciál

A Pöschl-Teller- potenciál egy elektrosztatikus tér potenciális energiájának függvénye , amelyet Herta Pöschl és Edward Teller magyar fizikusok [1] javasoltak egy kétatomos molekula energiájának közelítéseként, amely a Morse-potenciál alternatívája . A potenciálnak megvan a formája

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2 }ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\jobbra)

intervallumon , amelynek határán a végtelenbe megy. A paraméterek megfelelnek a feltételeknek és . Néha a Pöschl-Teller potenciált módosított Pöschl-Teller potenciálnak nevezik . $0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)$ $\varkappa >1$ $\lambda > 1$

Schrödinger egyenlet Pöschl-Teller potenciállal

A Pöschl-Teller potenciállal rendelkező stacionárius Schrödinger-egyenlet a következőképpen alakul:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left( {\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax))+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax))\jobbra) \Psi(x)=E\Psi(x).

Ha beírja a jelölést , akkor az a következő formában jelenik meg: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a ^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\jobbra)\Psi (x)=0.

A változók változása után

y=\sin ^{2}ax

kapunk

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4 }}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\ lambda -1)}{1-y}}\jobbra)\Psi (y)=0.

Mivel a 0 és 1 pont speciális, természetes, hogy a megoldást a következő formában ábrázoljuk:

\Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)

Ha úgy dönt

\mu ={\frac {\varkappa }{2)),\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2)),

akkor az egyenlet hipergeometrikus alakra redukálódik:

y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2))\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1 \right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\ lambda )^{2}\right)f(y)=0.

f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_ {1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),

ahol a jelölés bevezetésre kerül:

a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2 }}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.

Ha figyelembe vesszük a peremfeltételeket :

\Psi (0)=\Psi (1)=0,

akkor sajátfüggvényeket kapunk

\Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n ,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax),

ahol az állandó kiszámítása a normalizálás figyelembevételével történik:

C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_ {1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1} {2}}}.

A megfelelő energiaszintek a következők:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{ +}.

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (német) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , sz. 3-4 . – S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom