Sharkovsky parancsa

A Sharkovsky-rend a természetes számok rendezése , amely dinamikus rendszerek periodikus pontjainak vizsgálatához kapcsolódik egy szakaszon vagy egy valós egyenesen.

Történelem

Az unimodális leképezések, különösen a másodfokú leképezés kutatása során Alekszandr Nyikolajevics Sharkovszkij 1964 -ben megállapította , hogy a megfelelő bifurkációs diagramon a „káosz” tartományában úgynevezett „periodikus ablakok” vannak – a paraméter értékeinek szűk intervallumai. , amelyben periodikus mozgások vannak; a Sharkovsky-rendbeli átmeneteknek felelnek meg. Különösen, ha az alsó sorban haladunk az 1-es nyilak irányával szemben , a Feigenbaum -periódusok megkettőződéseinek kaszkádján megyünk keresztül . $r$

Megfogalmazás

Pozitív egész számokra és azt írjuk , hogy egy olyan szakaszon vagy egyenesen lévő dinamikus rendszernek, amelynek a legkisebb a periódusú pontja van , van-e a legkisebb b periódusú pontja . $a$ $b$ $a-tól b-ig$

Sharkovsky tétele kimondja, hogy ily módon a természetes számok halmazának teljes sorrendje a következőképpen van elrendezve:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3x2 → 5x2 → 7x2 → 9x2 → 11x2 → 13x2 → … → 3x2² → 5x2² → 7x2² → 9x2² → 11x2² → 13x2² → … ……………………………………… → 2 n → 2 n −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

A felső sorban az 1 kivételével minden páratlan szám szerepel növekvő sorrendben, a második sorban a páratlan számok szorzata (1 kivételével) 2-vel, a harmadik sorban a páratlan számok 2²-es szorzata, felülről a k . a páratlan számok szorzatai a . Végül az utolsó (alsó) sor a kettő tiszta hatványait jelöli. $2^{k-1}$

A 3. periódus káoszt hoz

Konkrétan a 3-as szám a legnagyobb ennek a sorrendnek az értelmében, tehát a 3. periódusú pont jelenléte egy tetszőleges periódusú pont jelenlétét vonja maga után. Ezt a konkrét esetet gyakran úgy rövidítik, hogy "a 3. periódus káoszt hoz". A 3. periódus periodikus pontjának esete a legértelmesebb. Ha van egy pont a 3. periódusban, akkor azt állíthatjuk, hogy a rendszer más értelemben „kaotikus”; például a rendszer topológiai entrópiája pozitív lesz.

A bizonyítás vázlata

Ebben az esetben különböző pontok állnak rendelkezésre $ABC$

f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.

Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhető, hogy . $a<b<c$

Majd szegmensekre és $I_{0}=[a,b]$ $I_{1}=[b,c]$

f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.

Ebből könnyen levezethető, hogy minden olyan véges szóra , amely nullákból és egyesekből áll, és nem tartalmaz két nullát egymás után, van egy olyan intervallum , ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1))$ $I_w$

f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j)),\quad j=1,\dots ,k-2,

f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.

Innen már könnyű megszerkeszteni bármely periódus periodikus pontját : elegendő a nullák és egyesek ábécéjébe venni a legkisebb periódus bármely periodikus szavát, anélkül, hogy egymás után két nulla lenne. A neki megfelelő szegmenshez $k$ $\omega =(w),\ |w|=k$ $k$ $I_w$

f^{k}(I_{w})\supset I_{w},

ezért ebben a szegmensben van a megfelelő periódus periodikus pontja. Végül pedig szimbolikus dinamikát tekintve (felosztásra , , komplementerre) a sorsa a sorozat , amelynek a legkisebb periódusa van, tehát a konstruált pont legkisebb periódusa is. $I_0$ $I_1$ $\omega$ $k$ $k$

Irodalom

Sharkovskiy AN Egy vonal önmagává történő folyamatos átalakulásának ciklusainak együttélése // Ukrainian Mathematical Journal. - 1964. - T. 16 , 1. sz . - S. 61-71 .
Sharkovskii A. N., Kolyada S. F., Spivak A. G., Fedorenko V. V. Dynamics of one-dimensional mappings. - Kijev: Naukova Dumka, 1989. - 216 p.
Danilov Yu. A. Előadások a nemlineáris dinamikáról. Elemi bevezetés. - M . : Postapiac, 2001. - 184 p.

Linkek

Klimenko A. V. Sharkovsky tétele (1. rész) + (2. rész) a YouTube -on