Logisztikai kijelző
A logisztikai térkép ( másodlagos térkép vagy Feigenbaum térkép is) egy polinomiális térkép , amely leírja, hogyan változik a populáció mérete az idő múlásával . Gyakran emlegetik példaként arra, hogy nagyon egyszerű nemlineáris egyenletekből milyen összetett, kaotikus viselkedés fakadhat . A logisztikai térkép a folytonos logisztikai Verhulst - egyenlet diszkrét analógja ; tükrözi azt a tényt, hogy a népességnövekedés diszkrét időpontokban megy végbe.
A leképezés matematikai megfogalmazása [1]
ahol:
0-tól 1-ig veszi az értékeket, és tükrözi a populáció értékének arányát az -edik évben a maximálishoz képest, és jelöli a kezdeti számot (a 0-s évben); a populáció szaporodásának (növekedésének) ütemét jellemző pozitív paraméter.
Néha ezt a megfogalmazást Verhulst (vagy Verhulst -Pearl ) leképezésnek nevezik, a logisztikai leképezés pedig egy másik, de a tulajdonságok képletében egyenértékű [2] :
Ez a nemlineáris leképezés két hatást ír le:
- egyrészt, ha a populáció mérete kicsi, akkor ezzel a mérettel arányos ütemben szaporodik;
- másrészt mivel a lakosság korlátozott "kapacitású" környezetben él, így a népsűrűség növekedésével csökken a szaporodási ráta, nő a verseny és a mortalitás.
A leképezés demográfiai modellként való használatának egyik hátránya , hogy egyes kezdeti értékek és paraméterértékek esetében a leképezés negatív értékeket ad a populáció méretére vonatkozóan. A diszkrét Ricoeur-modell , amely szintén kaotikus viselkedést mutat, nem rendelkezik ezzel a hiányossággal.
paramétertől függő viselkedés
A paraméter értékének megváltoztatásakor a következő viselkedés figyelhető meg a rendszerben [3] .
- Ha 0-nál nagyobb és 1-nél kisebb, a populáció végül kihal, függetlenül a kezdeti feltételektől.
- Ha nagyobb, mint 1 és kisebb, mint 2, a populáció mérete gyorsan eléri a stacionárius értéket , függetlenül a kezdeti feltételektől.
- Ha 2-nél több és 3-nál kisebb, akkor a populáció mérete ugyanúgy ugyanarra a stacionárius értékre fog jutni , de eleinte némileg ingadozni fog körülötte. A konvergencia mértéke mindenhol lineáris, kivéve a =3 értéket, amelynél rendkívül kicsi, kisebb, mint lineáris.
- Ha nagyobb, mint 3 és kevesebb (körülbelül 3,45), a sokaság korlátlanul ingadozik a két érték között.
- Ha nagyobb, mint 3,45 és kevesebb, mint 3,54 (körülbelül), akkor a populáció négy érték között korlátlanul ingadozik.
- 3,54-nél nagyobb érték esetén a sokaság 8 érték között ingadozik, majd 16, 32 és így tovább. A paraméterváltoztatási intervallum hossza, amelynél ingadozások figyelhetők meg az azonos számú érték között, csökken, mint . A szomszédos intervallumok két hossza közötti arány a Feigenbaum-állandóhoz δ ≈ 4,669... Ez a viselkedés tipikus példája a perióduskétszerező bifurkációk kaszkádjának.
- Körülbelül 3,57 értéknél kaotikus viselkedés kezdődik, és a duplázódási kaszkád véget ér. Az ingadozások már nem figyelhetők meg. A kezdeti feltételek kis változásai a rendszer további viselkedésében idővel összehasonlíthatatlan eltéréseket okoznak, ami a kaotikus viselkedés fő jellemzője.
- A legtöbb 3,57 feletti érték kaotikus viselkedést mutat, azonban vannak szűk, elszigetelt értékek "ablakai", ahol a rendszer rendszeresen viselkedik, ezeket általában "időszakos ablakoknak" nevezik. Például egy értékkel kezdődően (körülbelül 3,83) van egy paraméterintervallum , amelynél ingadozások figyelhetők meg három érték között, nagyobb értékek esetén pedig 6, majd 12 stb. között. Valójában periodikus oszcillációk is megtalálhatók. a rendszerben tetszőleges számú értékkel . Az értékek számának változtatási sorrendje megfelel a Sharkovsky-rendnek .
- 4-nél nagyobb érték esetén a leképezési értékek elhagyják a [0,1] intervallumot, és bármilyen kezdeti feltétel esetén eltérnek.
A fentiek eredményét a bifurkációs diagram adja meg . A paraméter értékei az abszcissza tengely mentén , a nagy időkben vett értékek pedig az ordináta tengely mentén vannak ábrázolva .
A bifurkációs diagram szerkezete önhasonló : ha a területet például = 3,82 értékre növeli a három ág valamelyikében, akkor láthatja, hogy ennek a területnek a finom szerkezete torz és elmosódott változatnak tűnik. a teljes diagramból. Ugyanez igaz a nem kaotikus pontok bármely szomszédságára. Ez egy példa a kaotikus rendszerek és a fraktálok közötti mély kapcsolatra.
Egy program bifurkációs diagram készítésére
A következő Python program bifurkációs diagramot készít.
importálja a matplotlib.pyplot fájlt plt - ként x3 = 0,01 s = [] c = [] l = 0,01 j esetén a ( 200 ) tartományban : x0 = x3 i esetén a ( 200 ) tartományban : x0 = 1 - l * x0 * x0 s . hozzáfűz ( x0 ) c . hozzáfűz ( l ) x3 = x0 l += 0,01 plt . plot ( c , s , 'r.' , ms = 1 ) plt . mutasd ()Analitikai megoldás
A pontos analitikai megoldás a következő:
Jegyzetek
- ↑ Dinamikus káosz archiválva : 2012. március 22., a Wayback Machine in Encyclopedia of Physics
- ↑ V. N. Dumacsev, V. A. Rodin. Antagonisztikusan kölcsönható populációk evolúciója a kétdimenziós Verhulst-Pearl modell alapján . - Math-Net.ru, 2005. - T. 17 , no. 7 . - S. 11-22 .
- ↑ " Java demonstráció egy kvadratikus térkép bifurkációiról archiválva 2008. május 13-án a Wayback Machine -nél" Dr. Evgeny Demidov honlapján.