Félfolyamatos funkció

A félkontinuitás a számításban gyengébb tulajdonsága a függvénynek, mint a folytonosság. Egy függvény alacsonyabb félfolytonos egy pontban, ha a függvény értéke a közeli pontokban nem sokkal kisebb, mint a függvény értéke. Egy függvény felső félfolytonos egy ponton, ha a függvény értékei a közeli pontokban nem haladják meg nagymértékben a függvény értékeit.

Definíciók

Legyen adott egy teljes metrikus tér . Egy valós értékű függvényt alsó (felső) félfolyamatosnak nevezünk egy pontban , ha $(X,\varrho ).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\X-ben$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\jobbra).

Egy függvényt alsó (felső) félfolyamatosnak nevezünk, ha alsó (felső) félfolyamatos minden esetén . $f$ $M\X részhalmaz$ $x_{0}\in M$

Tulajdonságok

Egy függvény akkor és csak akkor alacsonyabb félfolyamatos, ha a halmaz nyitott a valós vonal standard topológiájában bármely $f:X\to \mathbb{R}$ $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Legyen két alsó (felső) félfolytonos függvény. Ekkor az összegük is alsó (felső) félfolytonos. $f,g:X\mathbb{R}$ $f+g$
Az alsó (felső) félfolyamatos függvények monoton növekvő (csökkenő) sorozatának határa egy pontban egy alsó (felső) félfolytonos függvény . Pontosabban, legyen megadva az alsó (felső) félfolyamatos függvények sorozata úgy, hogy Akkor ha létezik a határ, akkor alsó (felső) félfolytonos. $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\to {\mathbb {R)],\;n\in {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\all x\in X,$ $f$
Ha és vannak félfolytonos függvények alulról, illetve felülről, és a teljes tér teljesül, akkor van olyan folytonos függvény , $u:X\to {\mathbb {R}}$ $v:X\to {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.$
( Weierstrass tétel ) Legyen adott egy kompakt részhalmaz Ekkor az alsó (felső) félfolytonos függvény eléri a minimumát (maximumát) -on . $K\X részhalmaz.$ $f:K\to \mathbb{R}$ $K$

Példák

Az egész rész egy felső félfolyamatos függvény; $x\mapsto[x]$
A tört rész alsó félfolyamatos. $x\mapsto\{x\}$
A metrika által generált topológiában egy tetszőleges nyitott halmaz mutatója egy alacsonyabb félfolyamatos függvény. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\X részhalmaz$
Egy tetszőleges zárt halmaz mutatója egy felső félfolytonos függvény. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\X részhalmaz$

Irodalom

Natanson I.P.: Valós változó függvényeinek elmélete , 3. kiadás, M., 1974;
Sachs S, Integrálelmélet , ford. angolból, M., 1949.