Teljes kategória

Egy kategóriát kis teljesnek nevezünk, ha bármely kis diagramnak van határértéke . A kettős fogalom egy kis komplett kategória, vagyis olyan, amelyben bármely kis diagramnak kolimitja van . A véges teljesség és általában az α-teljesség hasonlóképpen definiálható bármely szabályos α kardinálisra . Mindegyik közül a leggyakrabban a teljesség a kicsiben, ezért a kicsiben teljes kategóriákat egyszerűen teljesnek nevezzük . A korlátok megléte általában(nem feltétlenül kicsi) diagramok túl erős feltételnek bizonyulnak, mivel egy ilyen kategória szükségszerűen előrendelés lenne, legfeljebb egy morfizmus lenne bármely két objektuma között.

A teljes és egyben kiegészített kategóriát bicomplete-nek nevezzük .

Egy kategória gyengébb tulajdonsága a véges teljesség. Egy kategóriát akkor mondunk véges teljesnek, ha minden véges határérték létezik benne (vagyis egy véges halmazzal indexelt összes diagram határértéke). A véges komplett kategóriákat hasonlóan határozzák meg.

Példák

A következő kategóriák kettősek:
- kategória beállítása ; ${\mathcal {S}}et$
- csoport kategória ; ${\mathcal {G}}rp$
- gyűrű kategória ; ${\mathcal {R}}ing$
- az abel-csoportok kategóriája ; ${\mathcal {A}}b$
- a topológiai terek kategóriája ; ${\mathcal {T}}op$
- a kompakt Hausdorff terek kategóriája ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- kis kategóriák kategóriája ; ${\mathcal {C}}kukac$
A következő kategóriák természetesen kettősek, de nem teljesek vagy komplettek:
- véges halmazok kategóriája ; $f{S}et$
- a mező feletti véges dimenziós vektorterek kategóriája ; $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- véges csoportok kategóriája ; $f{\mathcal {G}}rp$
Általánosságban elmondható, hogy ha valamely algebrai elmélet modelljeinek kategóriája , akkor teljes és társteljes, mivel reflektív -ben . Emlékezzünk vissza, hogy az algebrai elmélet csak olyan feltételeket engedélyez olyan műveletekre, amelyek azonosságok (nincs kvantor!). Tegyük fel, hogy a mezők kategóriája nem az algebrai elmélet modelljeinek kategóriája, ezért az előző állítás nem vonatkozik rá. Nem teljes vagy teljes. $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$
( határérték tétel paraméterrel ) Ha egy kategória teljes (társbefejezett), akkor a kategória bármelyik kategóriára teljes (társteljes) , és a határértékek pontonként kerülnek kiszámításra. ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}),{\mathcal {C)))$ $\mathcal{A}$
Bármely Abeli kategória véges és minden bizonnyal együtt teljes.
Az előrendelés akkor teljes , ha a legnagyobb eleme van , és bármely elemhalmaz rendelkezik a legkisebb felső korláttal . Hasonlóképpen copolonról van szó, ha a legkisebb eleme van, és bármely elemhalmaznak van legkisebb kötöttsége.
A Met metrikus terek kategóriája véges, de nem teljes, és még csak véges együttszorzatai sincsenek.

Tulajdonságok

Van egy tétel, amely szerint egy kategória akkor és csak akkor teljes, ha minden hangszínszabályzó és kistermék létezik benne . Ennek megfelelően egy kategória akkor teljes, ha tartalmazza az összes koequalizert és kis társterméket.

Természetesen a teljes kategória is többféleképpen jellemezhető. Nevezetesen a következő állítások egyenértékűek:

C biztosan tele van,
C -nek minden hangszínszabályzója és véges szorzata van,
A C tartalmazza az összes hangszínszabályzót, bináris szorzatot és egy terminálobjektumot .
C -ben minden derékszögű négyzet és egy terminálobjektum van.

A kettős állítások is egyenértékűek.

Egy kis kategória csak akkor teljes a kicsiben, ha előrendelésről van szó. Ugyanez igaz a teljes kategóriára is; sőt egy kis kategóriában a teljesség és a teljesség egyenértékű a kicsiben. [egy]

Ha egy kategória egy kis kategóriában teljes, akkor bármely kis kategóriában bármely függvénynek van egy jobb Kahn-kiterjesztése bármely függvényhez képest , és minden ilyen Kahn-kiterjesztés pontszerű. Az állítás egyértelműen következik a pontszerű Kahn-kiterjesztés határértékként való ábrázolásából. $C$ $A$ $F\colon A\to C$ $\mathrm {Ran} _{K}F$ $K\colon A\to B$

Jegyzetek

↑ Absztrakt és konkrét kategóriák, Jiří Adámek, Horst Herrlich és George E. Strecker, 12.7 tétel, 213. oldal

Irodalom

S. McLane Kategóriák egy dolgozó matematikusnak, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. A logika kategorikus elemzése, - M . : Mir, 1983. - 487 p.
F. Borceux. Kategorikus algebra kézikönyve 1. Alapvető kategóriaelmélet. — Matematikai enciklopédia és alkalmazásai. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich és George E. Strecker. Absztrakt és konkrét kategóriák (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .