Bomlási mező

A p polinom mező feletti dekompozíciós tere a mező legkisebb kiterjedése , amelyen lineáris tényezők szorzatára bomlik : $K$ $L$ $K,$ $p$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

ahol

x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.

Ebben az esetben, vagyis ez a maximálisan lehetséges mező, minden olyan elem, ahol mezőelemek és számok összeadásával és szorzásával mind egymással, mind egymással összeadható. Ezért a dekompozíciós mezőről úgy beszélünk, mint egy adott polinom összes gyökének összeadásával kapott kiterjesztésről . $L=K(x_{1},\pontok ,x_{n}),$ $K$ $x_1,\pontok,x_n$ $L$ $K$

Hasonlóképpen bevezetjük a dekompozíciós mező fogalmát egy polinomcsaládra , egy L kiterjesztésre úgy, hogy minden p i L [ x ]-ben lineáris tényezőkre bomlik, és L -t K felett generálja az összes p i gyök . A p 1 , p 2 , …, p n polinomok véges halmazának dekompozíciós tere nyilvánvalóan a p=p 1 p 2 …p n szorzatuk dekompozíciós tere lesz . $p_{i}(x),i\in I$

A bővítési mező egy normál kiterjesztés . Ezen túlmenően minden normál kiterjesztés ábrázolható néhány polinomcsalád dekompozíciós mezőjeként.

Tulajdonságok

Egy véges polinomcsalád dekompozíciós tere a mező véges algebrai kiterjesztése . $K$
Egy polinom dekompozíciós tere minden p i polinomcsaládra létezik, és egyedileg definiálható egy olyan izomorfizmusig , amely azonos K -n .

Példák

Ha a polinom foka nem haladja meg a -t , akkor . $p$ $egy$ $L=K$
A komplex számok $\mathbb {C}$ mezeje a polinom kiterjesztési mezőjeként szolgál a valós számok mezője felett . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Bármely véges mező , ahol egy polinom egyszerű részmező feletti kiterjesztési tere . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Irodalom

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967