Jacobi mező

A Jacobi-mező egy vektormező egy geodézia mentén egy Riemann-sokaságban , amely leírja a különbséget e geodézia és a hozzá "végtelenül közel" geodetikus között. Elmondható, hogy egy geodetikus mentén az összes Jacobi-mező egy érintőteret képez vele az összes geodetikus térben . $\gamma$

Carl Gustaf Jacob Jacobi nevéhez fűződik .

Definíció

Legyen egy sima egyparaméteres geodetikus család -val , akkor a mező $\gamma _{\tau }$ $\gamma _{0}=\gamma$

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

Jacobi mezőnek nevezik.

Tulajdonságok

A J Jacobi-mező kielégíti a Jacobi-egyenletet : ${\megjelenítési stílus J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,}$

ahol a kovariáns derivált a Levi-Civita kapcsolathoz képest , a görbületi tenzor és az érintővektor .

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma (t)/dt

\gamma

A teljes Riemann-sokaságon minden olyan mező, amely kielégíti a Jacobi-egyenletet, Jacobi-mező, vagyis a definíció szerint ehhez a mezőhöz kapcsolódik egy geodetikus család. $\gamma _{\tau }$

A Jacobi-egyenlet egy másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet .
- Különösen, és egy bizonyos ponton egyedileg meghatározza a Jacobi-mezőt. $J$ ${\frac {D}{dt}}J$ $\gamma$
- Ezen túlmenően, a Jacobi-mezők halmaza a geodetikus mentén egy valós vektorteret alkot, amelynek mérete kétszerese a sokaság dimenziójának.

Bármely Jacobi mező egyedileg ábrázolható összegként , ahol triviális Jacobi mezők lineáris kombinációja, és ortogonálisan mindenre . $J$ $T+I$ $T=a{\pont {\gamma }}(t)+bt{\pont {\gamma }}(t)$ $Azt)$ ${\pont {\gamma }}(t)$ $t$
- Ebben az esetben a mező ugyanannak a geodetikus családnak felel meg, csak módosított paraméterezéssel. $én$

Bármely két Jacobi mezőre és a mennyiségre $Azt)$ $J(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

nem attól függ .

t

Példa

A gömbön az Északi-sarkon áthaladó geodetikus nagy körök . Tekintsünk két ilyen természetes paraméterezésű , szöggel elválasztott geodetikust . A geodéziai távolság az $\gamma _{0}$ $\gamma _{\tau }$ $t\in [0,\pi ]$ $\tau$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operátornév {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\operátornév {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg )}.

Ahhoz, hogy ezt a kifejezést megkapja, ismernie kell a geodetikusokat. A legérdekesebb eredmény a következő:

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0

bármely .

\tau

Ehelyett figyelembe vehetjük a származékokat a következő vonatkozásban : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t ))=|J(t)|=\sin t.

Megint megkapjuk a geodetikus metszéspontját a -nál . Megjegyzendő azonban, hogy ennek a deriváltnak a kiszámításához nem szükséges ismerni ; mindössze annyit kell tennie, hogy megoldja az egyenletet $t=\pi$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

y''+y=0

bizonyos kezdeti feltételekhez.

A Jacobi mezők ennek a jelenségnek a természetes általánosítását adják tetszőleges Riemann-sokaságokra .

A Jacobi-egyenlet megoldása

Legyen ; adjon hozzá másokat ehhez a vektorhoz, hogy ortonormális bázist kapjon -ben . Mozgassuk át párhuzamos fordítással , hogy bármely ponton bázist kapjunk . Ez ortonormális alapot ad a -val . A Jacobi mező az ehhez az alaphoz tartozó koordinátákban írható: , ahonnan: $e_{1}(0)={\pont {\gamma }}(0)/|{\pont {\gamma }}(0)|$ ${\big \{}e_{i}(0){\big \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gamma$ $e_{1}(t)={\pont {\gamma }}(t)/|{\pont {\gamma }}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\összeg _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

és a Jacobi-egyenlet átírható rendszerként

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\pont {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

mindenkinek . Így lineáris közönséges differenciálegyenleteket kapunk. Mivel az egyenletnek sima együtthatói vannak, a megoldások mindenkire léteznek, és akkor egyediek , ha és mindenre adottak . $k$ $t$ $y^{k}(0)$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Példák

Tekintsünk egy párhuzamos ortonormális kerettel rendelkező geodetikust , amely a fent leírtak szerint van megszerkesztve. $\gamma (t)$ $e_{i}(t)$ $e_{1}(t)={\pont {\gamma }}(t)/|{\pont {\gamma }}|$

A melletti vektormezők , amelyeket és ad meg , Jacobi mezők. $\gamma$ ${\pont {\gamma }}(t)$ $t{\pont {\gamma }}(t)$
Az euklideszi térben (és az állandó nulla metszeti görbületű terek esetében is) Jacobi-mezők azok a mezők, amelyek lineárisak a -ben . $t$
Állandó negatív metszetgörbületű Riemann-sokaságok esetén bármely Jacobi-mező a , és a lineáris kombinációja , ahol . ${\displaystyle -k^{2))$ ${\pont {\gamma }}(t)$ $t{\pont {\gamma }}(t)$ $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Állandó pozitív metszeti görbületű Riemann-sokaságok esetén bármely Jacobi mező lineáris kombinációja a , és , ahol . $k^{2}$ ${\pont {\gamma }}(t)$ $t{\pont {\gamma }}(t)$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ $\cos(kt)e_{i}(t)$ $i>1$
A Killing mező geodetikusra való korlátozása Jacobi mező bármely Riemann-féle sokaságban.
A Jacobi-mezők az érintőköteg geodéziáinak felelnek meg (a metrika által indukált metrikához képest ). $TM$ $M$

Lásd még

Irodalom

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemann geometria általában, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Bevezetés a Riemann-féle geometriába. - Szentpétervár: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .