Rauch-összehasonlítási tétel

Rauch összehasonlítási tétele a Riemann-geometria alapvető eredménye . Rauch [1] bizonyítja .

A tétel kimondja, hogy a nagyobb metszeti görbületű terekben a geodetikusok hajlamosak gyorsabban konvergálni. A pontos megfogalmazás Jacobi mezőket használ .

Megfogalmazás

Legyen és legyen Riemann -féle sokaság . Legyen és olyan egységsebességű geodetikusok, amelyeknek nincs konjugált pontja , és legyen normál Jacobi mezők és mentén , úgy, hogy és . Tegyük fel, hogy a metszetgörbületek és mindenhol kielégítik a , ahol van egy 2-sík tartalmazó , és van egy 2-sík, amely tartalmazza . Akkor mindenkinek . $M$ ${\tilde {M}}$ $\gamma \colon [0,T]\ to M$ ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ ${\widetilde {\gamma }}(0)$ ${\tilde {\gamma ))$ $J,{\tilde {J))$ $\gamma$ ${\tilde {\gamma ))$ $J(0)={\tilde {J))(0)=0$ $|J'(0)|=|{\tilde {J))'(0)|$ $M$ ${\tilde {M}}$ $K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K))({\widetilde {\Pi )))$ $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ ${\pont {\gamma }}(t)$ ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ ${\pont {\tilde {\gamma ))}(t)$ $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ $t\in [0,T]$

Következmények

Legyen egy Riemann-sokaság és a geodézisnek nincsenek konjugált pontjai, akkor: $M$ $\gamma \colon [0,T]\ to M$

Ha nem-negatív metszeti görbülete van, akkor minden olyan Jacobi-mezőre , amelyre , van $M$ $J$ $J(0)=0$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$
Ha a metszeti görbület legalább 1, akkor $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$
Ha a metszeti görbület legfeljebb −1, akkor $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operátornév {sh} t|.$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rauch, HE Hozzájárulás a differenciálgeometriához a nagy // Ann. Math.. - 1951. - Vol. 54.—P. 38–55. - doi : 10.2307/1969309 . . MR : 42765

Linkek

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemann geometria általában, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Bevezetés a Riemann-féle geometriába. - Szentpétervár: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .