Hasonló mátrixok
Az azonos rendű A és B négyzetes mátrixokat hasonlónak mondjuk, ha létezik egy azonos rendű P nem szinguláris mátrix, így:
Hasonló mátrixokat kapunk, ha ugyanazt a lineáris transzformációt adjuk meg egy mátrixszal különböző koordinátarendszerekben ; ebben az esetben a Р mátrix az egyik rendszerből a másikba való átmenet mátrixa .
Ha két mátrix hasonló, akkor az egyik mátrixot a másik hasonlósági transzformációjával kapjuk. Ha ráadásul az egyik mátrix átlós , akkor a második mátrixról azt mondjuk, hogy átlósítható.
Tulajdonságok
A mátrix hasonlósági reláció egy ekvivalencia reláció a négyzetmátrixok terében.
Ezek a mátrixok sok közös tulajdonsággal rendelkeznek, nevezetesen:
- rang
- döntő
- vágány
- sajátértékek (de előfordulhat, hogy a sajátvektorok nem egyeznek)
- karakterisztikus polinom
- Jordan formája a sejt permutációig
Bebizonyítható, hogy bármely A mátrix hasonló A T -hez .
Hasonló mátrixok kanonikus alakjai
Gyakran felmerül a kérdés, hogy egy adott lineáris transzformáció formája mennyire egyszerűsíthető a bázis (azaz a koordinátarendszer) megváltoztatásával. Mivel az eredményül kapott mátrixok hasonlóak, ez ugyanaz, mint egy mátrix valamilyen kanonikus alakjának keresése a mátrixok ekvivalenciaosztályában, amely hasonló a lineáris transzformáció mátrixához.
A legegyszerűbb ilyen forma természetesen egy átlós mátrix lenne, de nem minden mátrix redukálható átlós alakra (fontos kivételt képeznek a szimmetrikus valós és hermitikus mátrixok, amelyek mindig diagonalizálhatók).
A mátrixoknak számos bonyolultabb kanonikus formája létezik, amelyekre bármely mátrix redukálható hasonlósági transzformációval: