Morse újjáépítése

A sebészet vagy a Morse-átrendezés a sima sokaságok olyan átalakulása, amelyen egy sima funkció szintű sokaság megy keresztül, amikor áthalad egy nem degenerált kritikus ponton ; a legfontosabb konstrukció a differenciáltopológiában .

A sebészet fontos szerepe a sokaságok topológiájában azzal magyarázható, hogy lehetővé teszik az „extra” homotópiás csoportok „kényesen” (az elosztó egyik vagy másik tulajdonságának megsértése nélkül) elpusztítását (általában „sejt ragasztás” művelet). a homotópiaelméletben erre a célra használt, azonnal kivezet a sokaságok osztályából) . Szinte minden osztályozási tétel a sokaságon lévő struktúrákra annak a kérdésnek a vizsgálatán alapul, hogy egy zárt sokaság sejttérbe való leképezéséhez mikor van olyan bordizmus és olyan leképezés , amely , és egy homotópia ekvivalencia . A probléma megoldásának természetes módja a homomorfizmusok magjának elpusztítása műtétek sorozatával $f:M\to X$ $M$ $x$ ${\megjelenítési stílus (W;M, N)}$ $F:W\to X$ $F|_{M}=f$ $F|_{N}:\to X$ $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ (hol vannak a homotópia csoportok ). Ha ez sikerül, akkor a kapott leképezés homotópia ekvivalencia lesz. A megfelelő akadályok tanulmányozása (amelyek az ún. falcsoportokban találhatók) volt az egyik fő ösztönző az algebrai L-elmélet fejlődésében . $\pi _{k}$

Építkezés

Legyen egy sima -dimenziós sokaság (határ nélkül), amelybe a -dimenziós gömb (simán) be van ágyazva . Tegyük fel, hogy egy sokaságban lévő gömb normál kötege triviális, vagyis egy gömb zárt csőszerű környezete a B-ben direkt szorzattá bomlik , ahol egy dimenziós korong . Egy ilyen bontást választva kivágtuk a környék belsejét . Egy sokaságot kapunk, amelynek határát gömbök szorzatára bontjuk . Pontosan ugyanazon a határon van a sokaság . Ha ezeknek a sokaságoknak a széleit a direkt szorzat szerkezetét megőrző diffeomorfizmussal azonosítjuk , ismét egy határ nélküli sokaságot kapunk, amelyet a gömb mentén végzett sokaságműtét eredményének nevezünk . $V$ $n$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ $n-k+1$ $V$ $T$ $S^{k-1}\times S^{nk}$ ${\displaystyle D^{k}\times S^{nk))$ $V'$ $V$ ${\displaystyle S^{k-1))$

A műtét elvégzéséhez a gömb környezetének direkt szorzattá történő dekompozícióját kell beállítani , azaz a gömb normál kötegének trivializálását a sokaságban , míg a különböző trivializációk (kötélzetek) jelentősen eltérő (akár homotópia) sokaság . $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $V'$

A számot műtéti indexnek, a párost műtéttípusnak nevezzük . Ha a műtét típusától származik , akkor a műtét típusától származik . Mert a sokaság a sokaság (amely ebben az esetben üres is lehet) és a gömb diszjunkt egyesülése . $k$ ${\megjelenítési stílus (k,n-k+1)}$ $V'$ $V$ $(i, j)$ $V$ $V'$ ${\megjelenítési stílus (j,i)}$ $k=0$ $V'$ $V$ $S^{n}$

Példák

A műtéttel és annak eredményeként két gömb diszjunkt egyesülése jön létre, és - egy tórusszal . $V=S^{2}$ $k=2$ $k=1$
A és esetén a terméket kapjuk . $V=S^{3}$ $k=2$ $S^{1}\times S^{2}$
Az eset még bonyolultabb: ha a gömböt szabványos módon (nagy kör) ágyazzuk be , akkor a normál köteg trivializálásának megválasztásától függően lencsetereket kapunk ; ha megengedjük a gömb csomózását , akkor még nagyobb háromdimenziós sokaságot kapunk. $V=S^{3}$ $k=1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Tulajdonságok

Ha egy dimenziós elosztó határa , akkor az index fogantyú ragasztásával kapott elosztó határa lesz . $V$ $(n+1)$ $M$ $V'$ $M'$ $M$ $k$
- Nevezetesen, ha egy sima függvény egy elosztón , és olyan számok, hogy a halmaz kompakt, és egyetlen kritikus pontot tartalmaz , amely nem degenerált, akkor az elosztót az elosztóból kapjuk meg az index műtétével , ahol a A kritikus pont Morse indexe . $f$ $M$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $p$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $p$
- Általánosabban fogalmazva, az indexsokaság bármilyen átrendezése bizonyos bordizmust határoz meg , és a hármasban létezik $V'$ $V$ $k$ $(W;V,V')$ $(W;V,V')$
egy Morse-függvény , amelynek egyetlen kritikus indexpontja van , és minden olyan bordizmus , amelyen ilyen Morse-függvény létezik, így kapjuk meg. $k$ $(W;V,V')$
- Ebből (és a hármasfüggvények Morse-függvényeinek létezéséből) az következik, hogy két sokaság akkor és csak akkor bordáns, ha az egyiket véges műtétsorozattal kapjuk meg a másiktól.
Bizonyos óvintézkedések mellett az orientált elosztón végzett műtét eredménye ismét orientált elosztó lesz.

Változatok és általánosítások

A műtét kivitelezése darabonkénti lineáris és topológiai elosztókra is elvégezhető.