Paraméteres felület specifikáció

A háromdimenziós parametrikus felületek osztályát egy függvény határozza meg, amely paraméterektől függ, és leképez néhány összefüggő halmazt n-dimenziós térből háromdimenziós térbe oly módon, hogy ez a leképezés felület . Ez a függvény egy felületosztályt ad meg, egy paraméterkészlet pedig egy adott felületet ebből az osztályból. ${\displaystyle F(t_{1},\ldots ,t_{k}):\mathbb {M} \to \mathbb {R} ^{3))$ $k$ ${\mathbb {M}}$ $F$ $k$

A legpraktikusabb eset az, ha a halmaz egységnyi négyzet a kétdimenziós térben. Ebben az esetben a parametrikus felület a következőképpen írható le: ${\mathbb {M}}$

(x,y,z)=F(u,v)

vagy hol

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array)) \jobb.

{\displaystyle (u,v)\in [0,1]^{2))

A paraméteres felületeket széles körben használják az alkalmazott geometriában és a számítógépes grafikában összetett felületek ábrázolására. A paraméterezés kényelmessé teszi az ilyen felületek feldolgozását és megjelenítését .

Példák

Sík A háromdimenziós térben lévő két nem kollineáris vektor egy pontja és bázisa meghatároz egy síkot és egy kétdimenziós derékszögű koordinátarendszer ráleképezését . Ez határozza meg a sík paraméterezését ( és paraméterek): ${\vec {O}}$ ${\vec {l}}_{1},{\vec {l}}_{2}$ $UV$ $u$ $v$ $(x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}$

Lapos N-szög. Általánosságban elmondható, hogy egy N-szögű paraméterezést be lehet vezetni a baricentrikus koordinátarendszer segítségével .

Háromszög Az N-szögnek ez a legfontosabb speciális esete külön figyelmet érdemel. A háromszög paraméterezésének legáltalánosabb módja az, hogy egy háromszöget -térből lineárisan leképezünk rá. $UV$

Gömb Egy gömb paraméterezéséhez a legkényelmesebb az azonos nevű koordinátarendszer használata :
$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\ rho \sin \varphi \end{tömb}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2}}\jobbra ],\;\theta \in [0,2\pi )$ .

Egy végtelen körhenger oldalfelülete . Teljesen természetes a hengeres koordinátarendszer használata : $\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right. ,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )$ .

Bilineáris interpolációs négyszög . Egy 4 pontból álló rendezett halmaz a térben meghatároz egy bilineáris interpolációs felületet , és leképez rá egy négyzetet : ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{4))$ $u,v\in [0,1]$

(x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v )

Ez a felület sima , azonban a határán tetszőleges érintők beállításának lehetetlensége miatt foltként gyakorlatilag nem alkalmazható.

Bezier felület . A gyakorlatban főleg kétféle Bezier-felületet használnak: bikubikus 3. rendű - 16 ponttal meghatározott négyszöget, és baricentrikus 3. rendű - 10 ponttal meghatározott háromszöget. A baricentrikus koordinátarendszer egy háromszögben 3 számot tartalmaz, ezért nem mindig kényelmes.

A Bezier-felület határát Bezier-görbék alkotják . A felületet meghatározó pontok meghatározzák a határvonalak görbéit is, beleértve a rajtuk lévő normálokat is. Ez lehetővé teszi sima összetett felületek létrehozását , azaz a Bezier-felületek használatát foltként . A racionális Bezier-felület abban különbözik, hogy definíciójában minden ponthoz hozzá van rendelve egy bizonyos "súly", amely meghatározza a felület alakjára gyakorolt hatásának mértékét.

B-spline felület . A gyakorlatban általában két köbös B-spline felületeket alkalmaznak . A Bézier-felületekhez hasonlóan ezeket is 16 pont határozza meg, de általában nem mennek át ezeken a pontokon. A B-spline-ok azonban kényelmesen használhatók foltként, mivel jól illeszkednek egymáshoz, ha közös csúcsrácsot használunk, és maguk a csúcsok lehetővé teszik a normálok és érintők explicit beállítását a folthatárokon.

Ha a felület alakjának rugalmasabb szabályozására van szükség, racionális B-spline-okat , inhomogén B-spline-okat , valamint kombinált változatot - inhomogén racionális B-spline-okat (NURBS) használnak.

Tulajdonságok

Hadd . Akkor: ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u} &Y'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y' _{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmátrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)))={\ kezdődik{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}$

A felület egy pontjában a normál érték a következőképpen adódik:

{\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v))));\,{\frac {D(z,x)}{D(u, v ))));\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\jobbra)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)} {D (u,v)}}\jobbra)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\jobbra)^{2}+\bal ({ \frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\jobbra)^{2}}}}

Egy adott pont érintősíkja a következő egyenlettel írható le:

{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D( z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u ,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0

A paraméteresen meghatározott felület területét a következő képletekkel számítjuk ki:

\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D (y,z)}{D(u,v)}}\jobbra)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\jobbra)^ {2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

vagy

\iint \,\left|[{\pont {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\ ;\mathrm {d} \,v

, ahol

{\pont {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u)),\,{\frac {\partial y}{\partial u)), \,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\pont {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v} },\,{\frac {\partial y}{\partial v)),\,{\frac {\partial z}{\partial v))\right)

Irodalom

Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikus geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - M . : Túzok. — 570 p.
Rogers D., Adams J. A számítógépes grafika matematikai alapjai. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .