Paraméteres felület specifikáció
A háromdimenziós parametrikus felületek osztályát egy függvény határozza meg, amely paraméterektől függ, és leképez néhány összefüggő halmazt n-dimenziós térből háromdimenziós térbe oly módon, hogy ez a leképezés felület . Ez a függvény egy felületosztályt ad meg, egy paraméterkészlet pedig egy adott felületet ebből az osztályból.
A legpraktikusabb eset az, ha a halmaz egységnyi négyzet a kétdimenziós térben. Ebben az esetben a parametrikus felület a következőképpen írható le:
vagy hol
A paraméteres felületeket széles körben használják az alkalmazott geometriában és a számítógépes grafikában összetett felületek ábrázolására. A paraméterezés kényelmessé teszi az ilyen felületek feldolgozását és megjelenítését .
Példák
- Háromszög Az N-szögnek ez a legfontosabb speciális esete külön figyelmet érdemel. A háromszög paraméterezésének legáltalánosabb módja az, hogy egy háromszöget -térből lineárisan leképezünk rá.
Ez a felület
sima , azonban a határán tetszőleges érintők beállításának lehetetlensége miatt foltként gyakorlatilag nem alkalmazható.
- Bezier felület . A gyakorlatban főleg kétféle Bezier-felületet használnak: bikubikus 3. rendű - 16 ponttal meghatározott négyszöget, és baricentrikus 3. rendű - 10 ponttal meghatározott háromszöget. A baricentrikus koordinátarendszer egy háromszögben 3 számot tartalmaz, ezért nem mindig kényelmes.
A Bezier-felület határát
Bezier-görbék alkotják . A felületet meghatározó pontok meghatározzák a határvonalak görbéit is, beleértve a rajtuk lévő normálokat is. Ez lehetővé teszi sima összetett felületek létrehozását , azaz a Bezier-felületek használatát
foltként .
A racionális Bezier-felület abban különbözik, hogy definíciójában minden ponthoz hozzá van rendelve egy bizonyos "súly", amely meghatározza a felület alakjára gyakorolt hatásának mértékét.
- B-spline felület . A gyakorlatban általában két köbös B-spline felületeket alkalmaznak . A Bézier-felületekhez hasonlóan ezeket is 16 pont határozza meg, de általában nem mennek át ezeken a pontokon. A B-spline-ok azonban kényelmesen használhatók foltként, mivel jól illeszkednek egymáshoz, ha közös csúcsrácsot használunk, és maguk a csúcsok lehetővé teszik a normálok és érintők explicit beállítását a folthatárokon.
Ha a felület alakjának rugalmasabb szabályozására van szükség, racionális B-spline-okat , inhomogén B-spline-okat , valamint kombinált változatot - inhomogén racionális B-spline-okat (NURBS) használnak.
Tulajdonságok
Hadd . Akkor:
- A paraméteresen meghatározott felület területét a következő képletekkel számítjuk ki:
vagy
, ahol
Irodalom
- Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikus geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
- Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - M . : Túzok. — 570 p.
- Rogers D., Adams J. A számítógépes grafika matematikai alapjai. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .