Nyitott készlet

A nyitott halmaz egy halmaz , amelynek minden eleme valamilyen szomszédsággal együtt benne van (metrikus terekben és különösen a valódi vonalon). Például egy labda belseje (határ nélkül) nyitott készlet, de a labda a határvonallal együtt nem nyitott.

A "nyitott halmaz" kifejezés a topológiai terek részhalmazaira vonatkozik, és ebben az esetben semmilyen módon nem jellemzi a "magát" halmazt (sem a halmazelmélet értelmében , sem a rajta indukált topológiai struktúra értelmében). [1] [2] . A nyílt halmaz az általános topológia alapfogalma .

Euklideszi tér

Legyen az euklideszi térnek valamilyen részhalmaza . Ekkor nyitottnak nevezzük, ha olyan, hogy hol van a pont ε-szomszédsága $U\alhalmaz {\mathbb {R}}^{n}$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\Subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \left\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\ }$ $x_{0}.$

Más szóval, egy halmaz nyitott, ha bármelyik pontja belső .

Például egy intervallum a valós sor részhalmazaként nyitott halmaz. Ugyanakkor a szegmens vagy félintervallum nem nyitott, mivel a pont a halmazhoz tartozik, de egyik környéke sem szerepel ebben a halmazban. $(a,b)$ $[a,b]$ $[a, b)$ $a$

Metrikus tér

Legyen néhány metrikus tér , és . Ekkor nyitottnak nevezzük, ha olyan, hogy hol van a pont ε-szomszédsága a metrikához képest . Más szavakkal, a metrikus térben lévő halmazt nyitott halmaznak nevezzük, ha a halmaz minden pontja beletartozik ebbe a halmazba néhány nyitott golyóval együtt, amelynek középpontja a pont [3] . $(X,\rho )$ $U\X részhalmaz$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\Subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ $x_{0}$ $\rho$ $U$ $(X,\rho )$ $x_{{0}}$ $U$ $x_{{0}}$

Topológiai tér

A fenti definíciók általánosítása az általános topológiából származó nyitott halmaz fogalma.

A topológiai tér definíció szerint tartalmazza a nyitott részhalmazainak "listáját" , egy "topológiát" , amely a -n definiált . Az olyan részhalmazt , amely a topológia eleme (azaz ), nyitott halmaznak nevezzük a topológiához képest . $(X,{\mathcal {T}})$ $\mathcal{T}$ $x$ $U\X részhalmaz$ $U\in {\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$

A nyílt halmazok egy fontos alosztályát a kanonikusan nyitott halmazok alkotják, amelyek mindegyike valamilyen zárt halmaz belseje ( nyitott kernel ) (és ezért egybeesik annak lezárásának belsejével). Bármely nyitott halmaz a legkisebb kanonikusan nyitott halmazban található - ez lesz a halmaz zárásának belseje [4] . $G$ $G$

Történelem

A nyitott készleteket René-Louis Baer vezette be 1899-ben. [5]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Appert, Antoine. Sur le meilleur terme primitif en topologie (francia) // Cahiers du seminaire d'histoire des mathématiques. - 1982. - 3. sz . — 65. o . Az eredetiből archiválva : 2009. február 17.
↑ nyílt készlet az everything2.com oldalon
↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M.: Fizmatlit, 1961. — 29. o
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. - C. 24-25.
↑ R. Baire. Sur les fonctions de variables reelles. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)