Ortogonális kiegészítés

Egy bilineáris alakú vektortér alterének ortogonális komplementere az összes vektor halmaza, amelyek az egyes vektorokra merőlegesek -ból . Ez a halmaz egy vektoraltér , amelyet általában jelölnek . $W$ $V$ $B$ $V$ $W$ $V$ $W^{\bot }$

Definíció

Legyen vektortér egy bilineáris alakú mező felett . Egy vektor balra merőleges egy vektorra , és egy vektor akkor és csak akkor jobbra merőleges egy vektorra , ha Egy altér bal oldali ortogonális komplementere az egyes vektorokra balra merőleges vektorok halmaza , azaz. $V$ $F$ $B$ $u$ $v$ $v$ $u$ $B(u,v)=0.$ $W$ $W$

W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.

A jobb oldali ortogonális komplementer hasonlóképpen definiálható. Szimmetrikus vagy ferde-szimmetrikus bilineáris alak esetén ezért a bal és a jobb oldali ortogonális komplementer definíciója megegyezik. $B(u,v)=0\Bal jobbra nyíl B(v,u)=0,$

A definíció átvihető egy kommutatív gyűrűn keresztüli szabad modul esetére . [egy]

Tulajdonságok

Az ortogonális komplement egy altér, azaz vektorösszeadás és mezőelemmel való szorzás alatt zárva van.
Ha , akkor $X\subseteq Y$ $Y^{\bot }\subseteq X^{\bot }.$
A bilineáris forma gyöke bármely ortogonális komplement altere.
$W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.$
Ha az alakzat nem degenerált és a tér végesdimenziós, akkor $B$ $V$ $\mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.$
Ha véges dimenziós euklideszi tér és skaláris szorzat (vagy unitárius tér és hermitikus skaláris szorzat), akkor bármely altér esetén a direkt összeggé bővül, és [2] $V$ $B$ $W\subseteq V$ $V$ $W$ $W^{\bot }.$

Példa

Legyen egy kétdimenziós tér bázissal , és a bilineáris alak mátrixa ebben a bázisban a következő alakú lesz. Ekkor a vektor által átfogott altér ortogonális komplementere az a vektorhalmaz , amelyre Például a tér ortogonális komplementere A vektor által átívelt egybeesik önmagával, míg az ortogonális komplementet a vektorra feszíti át . $V$ ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.$ ${\displaystyle ae_{1}+be_{2))$ $xe_{1}+ye_{2},$ $ay+bx=0.$ $e_{1}$ $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ ${\displaystyle e_{1}-e_{2))$

Jegyzetek

↑ Adkins, Weintraub (1992) 359. o
↑ Maltsev A.I., A lineáris algebra alapjai, 212. o.

Irodalom

Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), Véges dimenziós vektorterek, Matematika egyetemi szövegei, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002