Egy paramétercsoport

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az egyparaméteres csoport ( eng. One-parameter group ) vagy egyparaméteres alcsoport meghatározása a csoport folyamatos homomorfizmusához kapcsolódik

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G

a valódi sorból (mint additív csoport) valamilyen topológiai csoportba . Ha egy injekció , akkor a kép a -vel izomorf alcsoport lesz . $\mathbb {R}$ $G$ $\varphi$ $\varphi (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathbb {R}$

Az egyparaméteres csoportokat Sophus Lie vezette be 1893-ban az infinitezimális transzformációk meghatározására. [1] Az ilyen infinitezimális transzformációk egy Lie algebrát hoznak létre, amelyet egy tetszőleges dimenziójú Lie csoport leírására használnak .

Egy egyparaméteres csoport műveletét egy halmazon áramlásnak nevezzük . Egy sima vektormező egy sokaságon lokális áramlást hoz létre, a lokális difeomorfizmusok egyparaméteres csoportját, amelyek a vektormező integrálgörbéi mentén mozgatják a pontokat . Egy vektormező lokális áramlását használják a vektormező mentén lévő tenzormezők Lie deriváltjának meghatározására.

Példák

Az ilyen egyparaméteres csoportok fontos szerepet játszanak a Lie-csoportok elméletében, amelyben a kapcsolódó Lie algebra minden eleme egy homomorfizmust határoz meg. Mátrixcsoportok esetén a homomorfizmust a mátrixkitevő adja meg .

Egy másik fontos eset a funkcionális analízisben van jelen , ahol az unitárius operátorok csoportja egy Hilbert-térben . $G$

A Lee Group 1957-es monográfiájában P.M. Kohn a következő tételt adja:

Bármely összekapcsolt egydimenziós Lie csoport analitikailag izomorf vagy a valós számok additív csoportjával, vagy a valós számok additív csoportjával . Különösen minden egydimenziós Lie-csoport lokálisan izomorf .

\mathfrak{R}

{\mathfrak {T}}

\mod 1

\mathbb {R}

Fizika

A fizikában egyparaméteres csoportokat használnak a dinamikus rendszerek leírására . [2] Ha a fizikai törvények halmaza konzisztens a differenciálható szimmetriák egyparaméteres csoportjával, akkor a Noether-tétele szerint konzervált mennyiséggel rendelkezik .

A téridő vizsgálatában Hermann Minkowski 1908-as munkája óta szokássá vált egyetlen hiperbola használata a téridő mérések kalibrálására . Ha egy hiperbola paraméterezését használjuk hiperbolikus szög segítségével, akkor a speciális relativitáselméletben a relatív mozgást a gyorsasággal jellemezhető egyparaméteres csoport segítségével számíthatjuk ki . A relativisztikus kinematikában és dinamikában a sebesség felváltja a sebesség fogalmát. Mivel a sebességnek nincs felső határa, az általa alkotott csoport nem tömör. A sebesség fogalmát Edmund Whittaker vezette be 1910-ben, majd egy évvel később Alfred Robb műveiben is megjelent a fogalom . A sebesség paraméter a hiperbolikus versor hosszának felel meg , amelynek fogalmát a 19. században vezették be. James Cockle, William Clifford és Alexander McFerlane matematikus fizikusok a derékszögű síkképet használták munkáik során az operátorral , ahol egy hiperbolikus szög és . $(\cosh {a}+r\sinh {a})$ $a$ $r^{2}=+1$

In GL(n,ℂ)

Fontos példa a Lie transzformációs csoportban, ha is , az invertálható méretű mátrixok összetett bejegyzésekkel rendelkező csoportja. Ebben az esetben a fő eredmény a következőképpen mondható el: [3] $G$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\szer n$

Tétel : Legyen egyparaméteres csoport. Aztán van egy egyedi méretű mátrix olyan, hogy

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

x

n\szer n

\varphi (t)=e^{tX}

mindenkinek .

t\in \mathbb {R}

Ebből az eredményből az következik, hogy differenciálható, bár a tételben ilyen feltevés nem szerepel. A mátrix rekonstruálható mint $\varphi$ $x$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt))\right|_{t =0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Ez az eredmény felhasználható például annak kimutatására, hogy a mátrixok Lie-csoportjai közötti folytonos homomorfizmus sima. [négy]

Jegyzetek

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Archiválva : 2014. február 1. a Wayback Machine -nél , angol fordítás: D. H. Delphenich, §8, link a neoklasszikus fizikából
↑ Zeidler, E. (1995) Alkalmazott funkcionális elemzés: Főbb alapelvek és alkalmazásaik Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 2.14. tétel
↑ Hall, 2015 Következmény 3.50

Linkek

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2. kiadás), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .