Az inverz trigonometrikus függvények ( körfüggvények , ívfüggvények ) olyan matematikai függvények , amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel . Az inverz trigonometrikus függvények általában hat függvényt tartalmaznak:
Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az "arc-" előtag hozzáadásával (a latin arc us szóból - arc). Ennek oka az a tény, hogy geometriailag az inverz trigonometrikus függvény értéke az egyik vagy másik szakasznak megfelelő egységkör ívének hosszához (vagy az ezt az ívet bezáró szöghez) köthető. Tehát a szokásos szinusz lehetővé teszi, hogy megtalálja az akkordot a körív mentén kivonva, és az inverz függvény megoldja az ellenkező problémát. Az inverz trigonometrikus függvények ilyen módon történő kijelölésének módja a 18. századi osztrák matematikusnál, Karl Scherfernél jelent meg, és Lagrange -nek köszönhetően rögzítették . Az inverz trigonometrikus függvény speciális szimbólumát először Daniel Bernoulli használta 1729-ben. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket is kínáltak: ezek azonban nem honosodtak meg [1] . A külföldi szakirodalomban, valamint a tudományos/mérnöki számológépekben csak alkalmanként használnak olyan jelöléseket, mint a sin -1 , cos -1 az arcszinuszhoz, arccosinuszhoz stb. [2] - az ilyen jelölést nem tartják túl kényelmesnek, mivel összetéveszthető. a függvény −1 hatványra emelésével.
A trigonometrikus függvények periodikusak, így a velük fordított függvények többértékűek. Vagyis az ívfüggvény értéke azoknak a szögeknek ( íveknek ) halmaza, amelyekre a megfelelő közvetlen trigonometrikus függvény egy adott számmal egyenlő. Például olyan szögek halmazát jelenti, amelyek szinusza . Az egyes ívfüggvények értékkészletéből kiemeljük annak fő értékeit (lásd az alábbi ívfüggvények fő értékeinek grafikonjait), amelyeket általában akkor értünk, amikor az ívfüggvényekről beszélünk. arcszinusz, arkoszinusz stb.
Általános esetben a feltétel mellett az egyenlet összes megoldása a következőképpen ábrázolható: [3]
Az x szám arcszinusza az y szög radiánban kifejezett értéke , amelyre
A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik.
Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .
Egy x szám arckoszinusza az y szög értéke radiánban, amelyre
A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökkenő és nem negatív.
Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .
Az x szám arctangense a radiánban kifejezett szög értéke , amelyre
A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan növekszik.
Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .
Az x szám arctangense annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre
A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan csökkenő és mindenhol pozitív.
Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .
Az arc tangens görbéjét az arctangens diagramjából kapjuk, ha az utóbbit az y tengely mentén tükrözzük (vagyis helyettesítjük az argumentum előjelét, ) és π / 2 -vel felfelé toljuk ; ez következik a fenti képletből
Egy x szám íves szöge annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre
A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik, és mindenhol nem negatív.
Egy x szám arccosecantje annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre
A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökken.
Minden inverz trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontján végtelenül differenciálható. Első származékok:
Funkció | Derivált | jegyzet |
---|---|---|
Bizonyíték
Az arcszinusz deriváltját kölcsönösen inverz függvények segítségével találhatja meg.
Ezután e két függvény deriváltját kell vennünk.
Most ki kell fejeznünk az arcszinusz deriváltját.
A trigonometrikus azonosság ( ) alapján - kapjuk.
Annak megértése érdekében, hogy a plusz vagy mínusz legyen, nézzük meg, milyen értékeket.
Mivel a koszinusz a 2. és 4. kvadránsban van, kiderül, hogy a koszinusz pozitív.
Kiderül. | ||
Bizonyíték
Az arccosine származékát ezzel az azonossággal találhatjuk meg:
Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát.
Most fejezzük ki az arccosine származékát.
Kiderül. | ||
Bizonyíték
Az arctangens deriváltját a reciprok függvény segítségével találhatjuk meg:
Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját.
Most ki kell fejeznünk az arctangens származékát: Most az azonosság ( )
lesz a segítségünkre :
Kiderül. | ||
Bizonyíték
Az inverz érintő deriváltját ezzel az azonossággal találhatjuk meg:
Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját.
Most fejezzük ki az inverz érintő deriváltját.
Kiderül. | ||
Bizonyíték
Az arcsekant származékát az identitás segítségével találhatja meg:
Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát.
Kiderül.
| ||
Bizonyíték
Az ív koszekánsának deriváltját megtalálhatja ezzel az azonossággal:
Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját.
Most fejezzük ki az arccosine származékát.
Kiderül. |
Valós és összetett x esetén :
Valós x ≥ 1 esetén:
Lásd még : Inverz trigonometrikus függvények integráljainak listájaAz inverz trigonometrikus függvények a háromszög szögeinek kiszámítására szolgálnak, ha ismertek az oldalai, például a koszinusztétel segítségével .
Egy derékszögű háromszögben ezek az oldalarányok függvényei azonnal megadják a szöget. Tehát, ha a hosszú láb ellentétes a szöggel , akkor
Az inverz trigonometrikus függvények értékeinek összetett argumentumból történő kiszámításához kényelmes olyan képleteket használni, amelyek természetes logaritmusban fejezik ki őket:
Trigonometria | |
---|---|
Tábornok |
|
Könyvtár | |
Törvények és tételek | |
Matematikai elemzés |