Inverz trigonometrikus függvények

Az inverz trigonometrikus függvények ( körfüggvények , ívfüggvények ) olyan matematikai függvények , amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel . Az inverz trigonometrikus függvények általában hat függvényt tartalmaznak:

Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az "arc-" előtag hozzáadásával (a latin  arc us szóból  - arc). Ennek oka az a tény, hogy geometriailag az inverz trigonometrikus függvény értéke az egyik vagy másik szakasznak megfelelő egységkör ívének hosszához (vagy az ezt az ívet bezáró szöghez) köthető. Tehát a szokásos szinusz lehetővé teszi, hogy megtalálja az akkordot a körív mentén kivonva, és az inverz függvény megoldja az ellenkező problémát. Az inverz trigonometrikus függvények ilyen módon történő kijelölésének módja a 18. századi osztrák matematikusnál, Karl Scherfernél jelent meg, és Lagrange -nek köszönhetően rögzítették . Az inverz trigonometrikus függvény speciális szimbólumát először Daniel Bernoulli használta 1729-ben. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket is kínáltak: ezek azonban nem honosodtak meg [1] . A külföldi szakirodalomban, valamint a tudományos/mérnöki számológépekben csak alkalmanként használnak olyan jelöléseket, mint a sin -1 , cos -1 az arcszinuszhoz, arccosinuszhoz stb. [2] - az ilyen jelölést nem tartják túl kényelmesnek, mivel összetéveszthető. a függvény −1 hatványra emelésével.

A trigonometrikus függvények periodikusak, így a velük fordított függvények többértékűek. Vagyis az ívfüggvény értéke azoknak a szögeknek ( íveknek ) halmaza, amelyekre a megfelelő közvetlen trigonometrikus függvény egy adott számmal egyenlő. Például olyan szögek halmazát jelenti, amelyek szinusza . Az egyes ívfüggvények értékkészletéből kiemeljük annak fő értékeit (lásd az alábbi ívfüggvények fő értékeinek grafikonjait), amelyeket általában akkor értünk, amikor az ívfüggvényekről beszélünk. arcszinusz, arkoszinusz stb.

Általános esetben a feltétel mellett az egyenlet összes megoldása a következőképpen ábrázolható: [3]

Alaparány

arcsin függvény

Az x szám arcszinusza az y szög radiánban kifejezett értéke , amelyre

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik.

Az arcsin függvény tulajdonságai

Az arcsin függvény lekérése

Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .

arccos függvény

Egy x szám arckoszinusza az y szög értéke radiánban, amelyre

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökkenő és nem negatív.

Az arccos függvény tulajdonságai

Az arccos függvény lekérése

Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .

arctg függvény

Az x szám arctangense a radiánban kifejezett szög értéke , amelyre

A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan növekszik.

Az arctg függvény tulajdonságai

Az arctg

Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .

arcctg függvény

Az x szám arctangense annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre

A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan csökkenő és mindenhol pozitív.

az arcctg függvény tulajdonságai

Az arcctg

Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest .

Az arc tangens görbéjét az arctangens diagramjából kapjuk, ha az utóbbit az y tengely mentén tükrözzük (vagyis helyettesítjük az argumentum előjelét, ) és π / 2 -vel felfelé toljuk ; ez következik a fenti képletből

arcsec függvény

Egy x szám íves szöge annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik, és mindenhol nem negatív.

Az arcsec függvény tulajdonságai

arccosec függvény

Egy x szám arccosecantje annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökken.

Az arccosec függvény tulajdonságai

Bővítés sorozattá

Inverz trigonometrikus függvények származékai

Minden inverz trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontján végtelenül differenciálható. Első származékok:

Funkció Derivált jegyzet
Bizonyíték                                 

Az arcszinusz deriváltját kölcsönösen inverz függvények segítségével találhatja meg. Ezután e két függvény deriváltját kell vennünk. Most ki kell fejeznünk az arcszinusz deriváltját. A trigonometrikus azonosság ( ) alapján - kapjuk. Annak megértése érdekében, hogy a plusz vagy mínusz legyen, nézzük meg, milyen értékeket. Mivel a koszinusz a 2. és 4. kvadránsban van, kiderül, hogy a koszinusz pozitív. Kiderül.














Bizonyíték                                 

Az arccosine származékát ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül.







Bizonyíték                                 

Az arctangens deriváltját a reciprok függvény segítségével találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most ki kell fejeznünk az arctangens származékát: Most az azonosság ( ) lesz a segítségünkre : Kiderül.










Bizonyíték                                 

Az inverz érintő deriváltját ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az inverz érintő deriváltját. Kiderül.







Bizonyíték                                 

Az arcsekant származékát az identitás segítségével találhatja meg:

Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát.

Kiderül.

Bizonyíték                                 

Az ív koszekánsának deriváltját megtalálhatja ezzel az azonossággal: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül.







Inverz trigonometrikus függvények integráljai

Határozatlan integrálok

Valós és összetett x esetén :

Valós x ≥ 1 esetén:

Lásd még : Inverz trigonometrikus függvények integráljainak listája

Használata a geometriában

Az inverz trigonometrikus függvények a háromszög szögeinek kiszámítására szolgálnak, ha ismertek az oldalai, például a koszinusztétel segítségével .

Egy derékszögű háromszögben ezek az oldalarányok függvényei azonnal megadják a szöget. Tehát, ha a hosszú láb ellentétes a szöggel , akkor

Kapcsolat a természetes logaritmussal

Az inverz trigonometrikus függvények értékeinek összetett argumentumból történő kiszámításához kényelmes olyan képleteket használni, amelyek természetes logaritmusban fejezik ki őket:

Lásd még

Jegyzetek

  1. Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-tájékoztató könyv, szerk. 3. . - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S.  211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
  2. ↑ Itt a −1 előjel definiálja az x = f −1 ( y ) függvényt, az y = f ( x ) függvény inverzét .
  3. Enciklopédiai szótár, 1985 , p. 220.
  4. Ha x értéke közel 1, akkor ez a számítási képlet nagy hibát ad. Ezért használhatja a képletet ahol

Linkek