Inverz trigonometrikus függvények

Az inverz trigonometrikus függvények ( körfüggvények , ívfüggvények ) olyan matematikai függvények , amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel . Az inverz trigonometrikus függvények általában hat függvényt tartalmaznak:

arcszinusz (szimbólum: szög , amelynek szinusza ) $\arcsin x;$ $x$
arccosine (szimbólum: az a szög, amelynek koszinusza egyenlő stb.) $\arccos x;$ $x$
arctangens (jele: ; a külföldi szakirodalomban ) $\operatorname {arctg} x$ $\arctan x$
arctangens (jele: ; a külföldi szakirodalomban vagy ) $\operatorname {arcctg} x$ $\operatorname {arccot} x$ $\operatorname {arccotan} x$
íves (szimbólum: ) $\operatorname {arcsec} x$
arccosecant (jele: ; a külföldi irodalomban ) $\operatorname {arccosec} x$ $\operatorname {arccsc} x$

Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az "arc-" előtag hozzáadásával (a latin arc us szóból - arc). Ennek oka az a tény, hogy geometriailag az inverz trigonometrikus függvény értéke az egyik vagy másik szakasznak megfelelő egységkör ívének hosszához (vagy az ezt az ívet bezáró szöghez) köthető. Tehát a szokásos szinusz lehetővé teszi, hogy megtalálja az akkordot a körív mentén kivonva, és az inverz függvény megoldja az ellenkező problémát. Az inverz trigonometrikus függvények ilyen módon történő kijelölésének módja a 18. századi osztrák matematikusnál, Karl Scherfernél jelent meg, és Lagrange -nek köszönhetően rögzítették . Az inverz trigonometrikus függvény speciális szimbólumát először Daniel Bernoulli használta 1729-ben. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket is kínáltak: ezek azonban nem honosodtak meg [1] . A külföldi szakirodalomban, valamint a tudományos/mérnöki számológépekben csak alkalmanként használnak olyan jelöléseket, mint a sin -1 , cos -1 az arcszinuszhoz, arccosinuszhoz stb. [2] - az ilyen jelölést nem tartják túl kényelmesnek, mivel összetéveszthető. a függvény −1 hatványra emelésével. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

A trigonometrikus függvények periodikusak, így a velük fordított függvények többértékűek. Vagyis az ívfüggvény értéke azoknak a szögeknek ( íveknek ) halmaza, amelyekre a megfelelő közvetlen trigonometrikus függvény egy adott számmal egyenlő. Például olyan szögek halmazát jelenti, amelyek szinusza . Az egyes ívfüggvények értékkészletéből kiemeljük annak fő értékeit (lásd az alábbi ívfüggvények fő értékeinek grafikonjait), amelyeket általában akkor értünk, amikor az ívfüggvényekről beszélünk. arcszinusz, arkoszinusz stb. $\arcsin 1/2$ $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$ $1/2$

Általános esetben a feltétel mellett az egyenlet összes megoldása a következőképpen ábrázolható: [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alpha$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Alaparány

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operátornév {arctg}\,x+\operátornév {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

arcsin függvény

Az x szám arcszinusza az y szög radiánban kifejezett értéke , amelyre $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ nál nél $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ nál nél $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (tartomány),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right]\qquad$ (értéktartomány).

Az arcsin függvény tulajdonságai

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (a függvény páratlan ).
$\arcsin x>0$ at . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ nál nél $x=0.$
$\arcsin x<0$ nál nél $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{mátrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{mátrix}}\jobbra.$
$\arcsin x=\operátornév {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{mátrix}\operátornév {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operátornév {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{mátrix }}\jobb.$

Az arcsin függvény lekérése

Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

arccos függvény

Egy x szám arckoszinusza az y szög értéke radiánban, amelyre $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökkenő és nem negatív. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ nál nél $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ nál nél $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (tartomány),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (értéktartomány).

Az arccos függvény tulajdonságai

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ A függvény központilag szimmetrikus a ponthoz képest, és közömbös (sem páros, sem nem páratlan) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$
$\arccos x>0$ nál nél $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ nál nél $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{mátrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{mátrix}}\jobbra.$
$\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\left\{{\begin{mátrix}\operátornév {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operátornév {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{mátrix }}\jobb.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operátornév {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Az arccos függvény lekérése

Adott egy függvény . A teljes definíciós tartományában darabonként monoton , és ezért a teljes számegyenesen az inverz megfelelés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt a szegmenst , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel az értéktartomány összes értékét. Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

arctg függvény

Az x szám arctangense a radiánban kifejezett szög értéke , amelyre $y,$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan növekszik. $y=\operátornév {arctg}x$

$\operátornév {tg}\,(\operátornév {arctg}\,x)=x$ nál nél $x\in {\mathbb R},$
$\operátornév {arctg}\,(\operátornév {tg}\,y)=y$ nál nél $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operátornév {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (tartomány),
$E(\operátornév {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\jobb)$ (értéktartomány).

Az arctg függvény tulajdonságai

$\operátornév {arctg}(-x)=-\operátornév {arctg}x\qquad$ (a függvény páratlan ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{mátrix}}\jobbra.$
$\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$
$\operátornév {arctg} x=\left\{{\begin{mátrix}\operátornév {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operátornév {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{mátrix}}\jobbra.$
${\displaystyle \operátornév {arctg} x=-i\operátornév {arth} {ix))$ , ahol az inverz hiperbolikus érintő, területtangens . $\operátornév {arth}$
$\operátornév {arth} x=i\operátornév {arctg} {ix}.$

Az arctg

Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton növekszik, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest . $y=\operátornév {tg}\,x$ $y=\operátornév {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operátornév {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operátornév {arctg}\,x$ $y=\operátornév {tg}\,x$ $y=x$

arcctg függvény

Az x szám arctangense annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre $\operátornév {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

A függvény a teljes valós egyenesen definiált, mindenhol folytonos és korlátos. Szigorúan csökkenő és mindenhol pozitív. $y=\operátornév {arctg}\,x$

$\operátornév {ctg} (\operátornév {arcctg} \,x)=x$ nál nél $x\in {\mathbb R},$
$\operátornév {arcctg} (\operátornév {ctg} \,y)=y$ nál nél $0<y<\pi ,$
$D(\operátornév {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operátornév {arcctg} x)=(0;\pi ).$

az arcctg függvény tulajdonságai

$\operátornév {arcctg} (-x)=\pi -\operátornév {arcctg} x.$ A függvény grafikonja központilag szimmetrikus a ponthoz képest. A függvény közömbös (sem páros, sem nem páratlan) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\jobbra).$
$\operatorname {arcctg} x>0$ bármilyen $x.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{mátrix}}\jobbra.$
$\operátornév{arctg} x = \pi/2-\operátornév{arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operátornév {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{mátrix}}\jobbra.$

Az arcctg

Adott egy függvény . Az egész definíciós tartományában darabonként monoton , ezért az inverz megfeleltetés nem függvény. Ezért vegye figyelembe azt az intervallumot , amelyen a függvény szigorúan monoton csökken, és csak egyszer veszi fel tartományának összes értékét . Ekkor az intervallumon van egy inverz függvény , amelynek grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az egyeneshez képest . $y=\operátornév {ctg}\,x$ $y=\operátornév {arctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operátornév {ctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operátornév {arctg}\,x$ $y=\operátornév {ctg}\,x$ $y=x$

Az arc tangens görbéjét az arctangens diagramjából kapjuk, ha az utóbbit az y tengely mentén tükrözzük (vagyis helyettesítjük az argumentum előjelét, ) és π / 2 -vel felfelé toljuk ; ez következik a fenti képletből $x\jobbra nyíl -x$ $\operátornév {arctg}x=\operátornév {arctg}(-x)+\pi /2.$

arcsec függvény

Egy x szám íves szöge annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan növekszik, és mindenhol nem negatív. $y=\operátornév {arcsec} x$

$\sec(\operátornév {arcsec} x)=x$ nál nél $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ nál nél $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operátornév {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (tartomány),
$E(\operátornév {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi }{2));\pi ]$ (értéktartomány).

Az arcsec függvény tulajdonságai

$\operátornév {arcsec}(-x)=\pi -\operátornév {arcsec} x.$ A függvény grafikonja központilag szimmetrikus a ponthoz képest. A függvény közömbös (sem páros, sem nem páratlan) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\jobbra).$
$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ bármilyen $x.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{mátrix}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

arccosec függvény

Egy x szám arccosecantje annak az y szögnek az értéke (a szögek radián mértékében), amelyre $\operátornév {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

A függvény folyamatos és korlátos a definíciós tartományában. Szigorúan csökken. $y=\operátornév {arccosec} x$

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ nál nél $|x|\geqslant 1,$
$\operátornév {arccosec} (\operátornév {cosec} y)=y$ nál nél $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operátornév {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (tartomány),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (értéktartomány).

Az arccosec függvény tulajdonságai

$\operátornév {arccosec} (-x)=-\operátornév {arccosec} x$ (a függvény páratlan ).
$\operátornév {arccosec} \,x=\operátornév {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {mátrix}\operátornév {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operátornév {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{mátrix}}\jobbra.$
$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Bővítés sorozattá

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ mindenkinek [4] $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ mindenkinek $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operátornév {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ összeg _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ mindenkinek $\left|x\right|\leq 1$

Inverz trigonometrikus függvények származékai

Minden inverz trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontján végtelenül differenciálható. Első származékok:

Funkció $f(x)$	Derivált $f'(x)$	jegyzet
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bizonyíték Az arcszinusz deriváltját kölcsönösen inverz függvények segítségével találhatja meg. Ezután e két függvény deriváltját kell vennünk. Most ki kell fejeznünk az arcszinusz deriváltját. A trigonometrikus azonosság ( ) alapján - kapjuk. Annak megértése érdekében, hogy a plusz vagy mínusz legyen, nézzük meg, milyen értékeket. Mivel a koszinusz a 2. és 4. kvadránsban van, kiderül, hogy a koszinusz pozitív. Kiderül. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bizonyíték Az arccosine származékát ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Bizonyíték Az arctangens deriváltját a reciprok függvény segítségével találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most ki kell fejeznünk az arctangens származékát: Most az azonosság ( ) lesz a segítségünkre : Kiderül. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Bizonyíték Az inverz érintő deriváltját ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az inverz érintő deriváltját. Kiderül. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték Az arcsekant származékát az identitás segítségével találhatja meg: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Kiderül. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték Az ív koszekánsának deriváltját megtalálhatja ezzel az azonossággal: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Inverz trigonometrikus függvények integráljai

Határozatlan integrálok

Valós és összetett x esetén :

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operátornév {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operátornév {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operátornév {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operátornév {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operátornév{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operátornév{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\jobbra)\!\jobbra)+C,\\\int \operátornév {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operátornév {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\jobbra)\!\jobbra)+C.\end{igazított}}

Valós x ≥ 1 esetén:

{\begin{aligned}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ jobb)+C,\\\int \operátornév {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operátornév {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\jobbra)+C.\end{igazított}}

Lásd még : Inverz trigonometrikus függvények integráljainak listája

Használata a geometriában

Az inverz trigonometrikus függvények a háromszög szögeinek kiszámítására szolgálnak, ha ismertek az oldalai, például a koszinusztétel segítségével .

Egy derékszögű háromszögben ezek az oldalarányok függvényei azonnal megadják a szöget. Tehát, ha a hosszú láb ellentétes a szöggel , akkor $a$ $\alpha$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operátornév {arctg} (a/b)=\operátornév {arccosec} (c/a)=\operátornév {arcsec}( c/b)=\operátornév {arctg} (b/a).$

Kapcsolat a természetes logaritmussal

Az inverz trigonometrikus függvények értékeinek összetett argumentumból történő kiszámításához kényelmes olyan képleteket használni, amelyek természetes logaritmusban fejezik ki őket:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{igazított}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned} }

{\begin{aligned}\operatorname {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\jobbra),\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\jobbra).\end{igazított}}

Lásd még

Jegyzetek

↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-tájékoztató könyv, szerk. 3. . - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Itt a −1 előjel definiálja az x = f −1 ( y ) függvényt, az y = f ( x ) függvény inverzét .
↑ Enciklopédiai szótár, 1985 , p. 220.
↑ Ha x értéke közel 1, akkor ez a számítási képlet nagy hibát ad. Ezért használhatja a képletet ahol $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Linkek

Weisstein, Eric W. Inverz trigonometrikus függvények a Wolfram MathWorldnél .
Matematikai Enciklopédia / Ch. szerk. I. M. Vinogradov. - M .: "Szovjet Enciklopédia", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - p. 1135].
Inverz trigonometrikus függvények - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból . - M .: "Szovjet Enciklopédia", 1974. - T. 18. - p. 225.
Inverz trigonometrikus függvények // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Savin A.P. - M . : Pedagógia, 1985. - S. 220-221. — 352 p.
Inverz trigonometrikus függvények online ábrázolása
Online számológép: inverz trigonometrikus függvények

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok