Inverz tétel

Az inverz tétel vagy egy adott tételre vonatkozó inverz állítás olyan állítás, amelyben az eredeti tétel (közvetlen állítás) feltételét a következtetés határozza meg, a következtetés pedig a feltétel. [egy]

A fordított tétel fordítottja az eredeti (direkt) tétel. Mindkét kölcsönösen inverz tétel érvényessége azt jelenti, hogy bármelyikük feltételének teljesülése szükséges és elégséges a következtetés érvényességéhez. [egy]

Minden tétel kifejezhető implikáció formájában , amelyben az előfeltevés a tétel feltétele, a következmény pedig a tétel következtetése. Ekkor a formába írt tétel inverz vele [2] . $A\jobbra nyíl B$ $A$ $B$ $B\Rightarrow A$

Gyakran használják az inverz tétel általánosabb definícióját: ha direkt tételről van szó, akkor nemcsak a tételt nevezzük inverznek , hanem a tételeket is , [3] . $(A\land C)\Rightarrow B$ $B\Rightarrow (A\land C)$ $(B\land A)\Rightarrow C$ $(B\land C)\Jobbra A$

Ha a tétel feltétele és/vagy következtetése összetett ítélet, akkor az inverz tétel olyan megfogalmazások halmazát engedi meg, amelyek nem ekvivalensek egymással. Például, ha a tétel feltétele , és a következtetés : , akkor az inverz tételnek öt alakja van: [4] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

$(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$
$(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$
$Z\Rightarrow (A\And Y)$
$A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$
$Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$

Általánosságban elmondható, hogy a fordított tétel akkor sem igaz, ha a közvetlen tétel igaz. Így a „függőleges szögek egyenlőek” (más szóval: „ha a szögek függőlegesek, akkor egyenlőek”) tételről ismert, hogy igaz. De a vele ellentétes állítás "ha a szögek egyenlőek, akkor függőlegesek" általánosságban véve nem igaz.

Még ha fordítva is igaz, a bizonyítása sokkal nehezebb lehet, mint a közvetlen bizonyítása. Például a négy csúcstételt 1912-ben igazolták, az inverzét pedig csak 1998-ban.

Tulajdonságok

A közvetlen tétel ekvivalens az ellentétes tétellel : $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
Az inverz tétel ekvivalens az ellenkező egyenessel: [5] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Példák

A Pitagorasz-tétel a következőképpen fogalmazható meg:

Ha egy olyan háromszögben, amelynek oldalai hossza , és az oldallal szemközti szög megfelelő, akkor . $a$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Ennek a tételnek az inverze megjelenik Euklidész elemei című könyvében (I. könyv, 48. állítás), és a következőképpen fogalmazható meg:

Ha egy olyan háromszögben, amelynek oldalai , és , akkor az oldallal ellentétes szög megfelelő. $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c$

Ábel tétele és Abel-Tauber tétele
Tételek egy szubdermális háromszög csúcsairól
Direkt és inverz határérték tétel
Más értelemben: Shannon tételei egy általános forráshoz

Lásd még

Ellentétes tétel

Jegyzetek

↑ 1 2 Inverz tétel // Matematikai enciklopédikus szótár / szerk. Prokhorova Yu. V. - M., Szovjet Enciklopédia , 1988. - p. 423
↑ Edelman, 1975 , p. 32.
↑ Gindikin, 1972 , p. 19.
↑ Gradstein, 1965 , p. 92.
↑ Edelman, 1975 , p. 33.

Irodalom

Edelman S.L. Matematikai logika. - M . : Felsőiskola, 1975. - 176 p.
Gindikin S.G. Logikai algebra feladatokban. - M. : Nauka, 1972. - 288 p.
Gradshtein I.S. Direkt és inverz tételek. A logika algebra elemei. - M . : Nauka, 1965. - 127 p.