Normalizációs tényező

A normalizációs tényező egy olyan tényező, amellyel a matematikai kifejezést úgy szorozzuk meg, hogy ezután bármely szignifikáns paraméter 1-gyel egyenlő legyen. A normalizációs tényező kiválasztását normalizálásnak ( normalizációnak ) nevezzük.

Leggyakrabban azt a helyzetet értjük alatta, amikor egy nem negatív függvényt vagy egy számsorozat összes tagját megszorozzuk a normalizációs tényezővel úgy, hogy a függvény definíciós tartománya feletti integrálja vagy a sorozat tagjainak összege egyenlő egy. Ekkor a faktor egy pozitív szám vagy a függvény argumentumaitól független algebrai kifejezés. Hasonló normalizálási eljárást alkalmaznak a valószínűségszámításban és a fizika különböző területein ( statisztikus fizika , kvantummechanika , spektrumelmélet és mások). Normalizálás után a függvényt eloszlássűrűségnek , a sorozatot pedig eloszlási sorozatnak tekinthetjük .

A „normalizációs tényező”, „normalizálás” fogalmait azonban más, a statisztikákhoz nem kapcsolódó helyzetekben is használják. Ebben az esetben a normalizálás célja az lehet, hogy az adatokat valami kényelmesebbre hozzuk.

Normalizációs tényező a statisztikákban

A statisztikához közvetlenül vagy közvetve kapcsolódó feladatok jelentik a normalizációs tényezők fő alkalmazási területét. Az általános jelentés azt a követelményt jelenti, hogy az összes lehetséges esemény teljes valószínűsége eggyel egyenlő [1] .

Normalizálási eljárás

Ha az intervallumon definiált nem negatív függvény , akkor a normalizációs tényező az $\phi(x)$ ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{2))$ $A$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\right]^{-1}

ebben az esetben a függvény normalizálódik. A normalizálás hasonlóképpen történik többdimenziós esetben is. $f(x)=A\cdot \phi (x)$

Ha ( ) egy nemnegatív numerikus sorozat tagjai, a normalizációs tényezőt a következőképpen találjuk meg $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $A$

{\displaystyle A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1))

ebben az esetben a sorozatnak egy eloszlási sorozat jelentése lesz, azaz egy diszkrét érték realizálási valószínűségeinek listája . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

A normalizálás szükségessége

A legjelentősebb és leggyakrabban előforduló eloszlásokat általában már normalizálással rögzítjük, vagyis nincs szükség további eljárásokra. Például egy mennyiség normális eloszlása ( szórással ) analitikus formával rendelkezik $x$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ sqrt {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\jobbra)

Itt feltételezzük a definíciós tartományt, és a feltétel teljesül. $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1$

Ritkábban előforduló helyzetekben azonban szükség lehet egy normalizációs tényező kiválasztására. Tegyük fel, hogy néha szükség van a definíciós tartomány szűkítésére (például a fenti példában vegyük a tartományt nem , hanem ; akkor ez lesz ). Nem ritka, hogy egy eloszlást „konstans tényezőig” adnak meg, azaz „ [kifejezés]” formában, és feltételezik, hogy ezt az állandó tényezőt normalizálással találják meg. $x$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty \ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ $\phi (x)\sim$

Példák a fizika területéről

1. példa . Az ideális gáz molekuláinak sebességi modulusaira vonatkozó Maxwell-eloszlás alakja ( - Boltzmann-állandó, - hőmérséklet, - egy molekula tömege). A normalizálás biztosításához a normalizálási tényezőnek egyenlőnek kell lennie a -val . $\phi (v)\sim v^{2}\cdot \exp(-mv^{2}/2kT)$ $k$ $T$ $m$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $A$ $4\pi (m/2\pi kT)^{3/2}$

2. példa . Egy részecske állapotát a kvantummechanikában a hullámfüggvény adja meg . Ennek a függvénynek a modulusának négyzete a valószínűségi sűrűség jelentése egy részecske detektálásához a ( , , ) pontban. Ebben az esetben a relációnak kell teljesülnie , ahol az integrációt a teljes térfogaton hajtjuk végre, amelyben a részecske tartózkodhat [2] . $\psi (x,\,y,\,z)$ $x$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

3. példa . A folytonos elektromágneses vagy akusztikus spektrum függvényként adható meg (méret W / m 2 / Hz ), - frekvencia, - teljes intenzitás W / m 2 -ben . Ebben az esetben a frekvencia eloszlás sűrűsége játszik szerepet a spektrumban, és az egyenlőségnek teljesülnie kell . Ha a spektrum diszkrét, akkor frekvencia-intenzitás párok halmazával ( , ) adható meg. Ebben az esetben és a gyakorisági eloszlási sorozat olyan tagokból áll majd , ahol . $I\cdot g(\nu )$ $\nu$ $én$ $g(\nu )$ $\int _{0}^{+\infty }g(\nu )d\nu =1$ $\nu _{n}$ $Ban ben}$ $\sum _{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ $\sum _{n}P(\nu _{n})=1$

Statisztikán kívüli tényezők normalizálása

Normalizációs faktorokat akkor is használunk, ha azt kívánjuk elérni, hogy valamilyen érték (nem feltétlenül teljes valószínűséget jelent) egyenlő legyen eggyel.

Ha irányt kell beállítani, akkor ezt sokszor kényelmesebb abszolút értékű egységvektorral megtenni, vagyis mondjuk ne ( , orts a síkon ) használjuk, hanem , ahol a normalizációs tényező. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ ${\displaystyle A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2))$

Például a grafikonok ábrázolásakor , ha csak a görbe alakja fontos, néha az értékeket normalizálják a maximális értékkel , vagyis az értékeket az ordináta mentén megszorozzák a normalizációs tényezővel. ; akkor a legnagyobb vertikális érték 1 lesz. Azt is begyakorolják, hogy relatív mértékegységekre váltanak (egy vagy mindkét tengely mentén) úgy, hogy valamilyen jellemző értékkel szoroznak, mondjuk ; az ilyen műveletet normalizálásnak is nevezhetjük, míg az egység (a tengely mentén ) a jellemző értéknek felel meg. $y(x)$ ${\displaystyle y_{max))$ ${\displaystyle y_{max}^{-1))$ ${\displaystyle x_{0}^{-1))$ ${\displaystyle x/x_{0))$

A normalizálásra (és ennek megfelelően a normalizációs tényező kiválasztására) nemcsak a hullámfüggvény fenti fizikai esetére lehet szükség, hanem egy szélesebb problémaosztály sajátfüggvényeinél is [3] . $\int |\psi |^{2}dV=1$

Létezik az " egyenes normál egyenlete " [4] fogalma . Ismertebb egyenlete ( , , konstansok) egy normálsá redukálódik egy normalizációs tényezővel való szorzással , ahol az előjel ellentétes a -éval . Szorzás után a és előtti számok négyzeteinek összege egységgé válik. Hasonló helyzet fordul elő a " sík normál egyenletével ". $Ax+By+C=0$ $A$ $B$ $C$ $\pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2}$ $C$ $x$ $y$

Jegyzetek

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Valószínűségszámítás és matematikai statisztika . Minsk, BSUIR (2003), lásd f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Kvantummechanika. Módszertani útmutató a kvantumfizikai műhelyhez. Szentpétervár: ITMO (2012), lásd 1.1.4. Hullámfüggvények normalizálása .
↑ N. N. Vorobjov Sorozatelmélet . Moszkva: Nauka (1979), lásd Ch. 8, 3. §: Normalizált és ortogonális függvények .
↑ I. Maltsevskaya Egy egyenes normál (normalizált) egyenlete: leírás, példák, problémamegoldás , lásd Zaochnik oktatási szolgáltatás.