Bishop-Gromov egyenlőtlenség

A Bishop-Gromov egyenlőtlenség egy összehasonlító tétel a Riemann-geometriában . Ez a Gromov-féle tömörségi tétel [1] bizonyításának kulcsszava .

Az egyenlőtlenség Richard Bishop és Mihail Gromov nevéhez fűződik .

Megfogalmazás

Legyen egy teljes n -dimenziós Riemann-sokaság, amelynek Ricci-görbülete alatta határolódik , azaz. $M$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

állandóra . $K\in \mathbb {R}$

Jelöljük egy r sugarú golyóval egy p pont körül , amelyet a Riemann-féle távolságfüggvény alapján határozunk meg . ${\displaystyle B(p,r)_{M))$

Jelölje az n - dimenziós modellteret. Azaz egy teljes n - dimenziós , egyszerűen összefüggő állandó metszeti görbületű tér . Ily módon $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $K$

$\mathbb {M} ^{n}(K)$ n - sugarú gömb , ha , vagy $1/{\sqrt {K}}$ $K>0$
n - dimenziós euklideszi tér , ha , vagy $K=0$
Lobacsevszkij tér görbülettel . $K<0$

Aztán bármelyikhez és a funkcióhoz $p\in M$ ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M)){\operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ mathbb {M} ^{n}(K)}}}

nem növekszik az intervallumban . $(0,\infty )$

Jegyzetek

Az egyenlőtlenség a következőképpen írható fel $K=0$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M))$

at .

\lambda \geqslant 1

Ha r nullára hajlik, akkor az arány megközelíti az egyet, tehát a monotonitás mellett ez azt jelenti $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Ezt a változatot először püspök [2] [3] bizonyította .

Lásd még

Myers tétele

Jegyzetek

↑ Yu. D. Burago , V. A. Zalgaller , Bevezetés a Riemann geometriába, 1991, p. 320, (22,5)
↑ Bishop, R. A térfogat, az átlagos görbület és az átmérő közötti összefüggés. amer. Math. szoc. Nem. 10 (1963), p. 364.
↑ Bishop RL, Crittenden RJ. Elosztórendszerek geometriája, 4. következtetés, p. 256