Nem negatív mátrix kiterjesztése

A nemnegatív mátrixfelbontás ( NMP ), egyben nemnegatív mátrixközelítés is [1] [2] , a többváltozós elemzésben és a lineáris algebrában alkalmazott algoritmusok csoportja , amelyben egy V mátrixot (általában) két mátrixra bontják . W és H , azzal a tulajdonsággal, hogy mindhárom mátrixnak vannak nem negatív bejegyzései. Ez a nem-negativitás megkönnyíti a kapott mátrixok tanulmányozását. Az olyan alkalmazásokban, mint az audiospektrogram feldolgozás vagy az izomaktivitási adatok, a nem-negativitás a kérdéses adatok velejárója. Mivel a probléma általában megoldhatatlan, általában numerikusan közelítik meg.

Az NMR olyan területeken talált alkalmazásra, mint a csillagászat [3] [4] , a számítógépes látás , a dokumentumcsoportosítás [1] , a kemometria , az audiojelfeldolgozás , az ajánlórendszerek [ 5 ] [6] és a bioinformatika [7] .

Történelem

A kemometriában a nem-negatív mátrixbontás hosszú múltra tekint vissza "önhasonló görbefelbontás" néven [8] Ebben az összefüggésben a jobb oldali mátrixban lévő vektorok folytonos görbék, nem pedig diszkrét vektorok. A nem-negatív mátrixbontással kapcsolatos korai munkát egy finn kutatócsoport végezte az 1990-es évek közepén, az úgynevezett pozitív mátrixbontás [9] [10] . A módszer nemnegatív mátrixbontásként vált ismertté , miután Li és Seung megvizsgálták az algoritmus tulajdonságait, és több egyszerű, hasznos algoritmust publikáltak kétféle dekompozícióra [11] [12] .

Háttér

Legyen V mátrix a W és H mátrixok szorzata ,

A mátrixszorzás úgy valósítható meg, hogy a V mátrix oszlopvektorát W -beli oszlopvektorok lineáris kombinációjaként számítjuk ki a H mátrix oszlopaiból származó együtthatók felhasználásával . Vagyis a V mátrix minden oszlopa a következőképpen számítható ki:

ahol v i a V mátrix szorzatának i. oszlopvektora , h i pedig a H mátrix i. oszlopvektora .

A mátrixok szorzásakor a mátrixtényezők mérete jelentősen kisebb lehet, mint a mátrixok szorzatának dimenziója, és ez az a tulajdonság, amely az NMP alá vonja az alapot. Az NMR az eredeti mátrixhoz képest jelentősen csökkentett dimenziójú tényezőket hoz létre. Például, ha V egy m × n mátrix, W egy m × p mátrix, és H egy p × n mátrix, akkor p lényegesen kisebb lehet m -nél és n -nél is .

Íme egy szövegelemző alkalmazáson alapuló példa:

• Legyen a bemeneti mátrix (dekompozíciós mátrix) V 10000 sorral és 500 oszloppal, ahol a szavak soroknak, a dokumentumok pedig oszlopoknak felelnek meg. Vagyis 500 dokumentumunk van indexelve 10 000 szóval. Ebből következik, hogy a V -beli v oszlopvektor egy dokumentumot jelent.
• Tegyük fel, hogy megkérjük az algoritmust, hogy keressen 10 jellemzőt a 10 000 soros és 10 oszlopos W jellemzőmátrix és a 10 soros és 500 oszlopos H együtthatómátrix létrehozásának sorrendjében.
• W és H szorzata egy 10 000 sorból és 500 oszlopból álló mátrix, amelynek méretei megegyeznek a V bemeneti mátrixszal , és ha a dekompozíció működik, akkor ez a V bemeneti mátrix ésszerű közelítése .
• A mátrixszorzás fenti leírásából következik, hogy a WH mátrixszorzat minden oszlopa 10 oszlopvektor lineáris kombinációja a W jellemzőmátrixban a H mátrixból származtatott együtthatókkal .

Ez utóbbi tulajdonság a HMP alapja, mivel a példánkban szereplő minden eredeti dokumentumot látens jellemzők kis halmazából állónak tekinthetünk. Az NMR ezeket a tulajdonságokat hozza létre.

Célszerű a W jellemzőmátrixban lévő minden egyes jellemzőt (oszlopvektort) egy dokumentum prototípusnak tekinteni, beleértve egy szókészletet, amelyben minden egyes szónak megfelelő cella meghatározza a szó rangját a jellemzőben - minél magasabb az érték a szócellában, annál magasabb rangot kap a szó a tulajdonságban. A H együtthatók mátrixának egy oszlopa az eredeti dokumentumot jelöli cellaértékekkel, amelyek meghatározzák a dokumentum rangját a tulajdonsághoz. Most már rekonstruálhatjuk a dokumentumot (oszlopvektort) a bemeneti mátrixunkból sajátosságaink lineáris kombinációjaként ( W -ből származó oszlopvektorok), ahol minden jellemzőt a H mátrix oszlopvektorából származó jellemzőértékkel adott súllyal veszünk fel .

Klaszterezési tulajdonság

Az NMR-nek van egy belső tulajdonsága a klaszteresedés [13] , azaz. automatikusan csoportosítja a bemeneti adatoszlopokat . Ezt a tulajdonságot a legtöbb HMP-alkalmazás megköveteli.

Pontosabban, az eszközökkel történő közelítés a hibafüggvény minimalizálásával érhető el

feltételek mellett

Sőt, a számított mátrix a klaszterek indikátorát adja meg, pl. ha , ez a tény azt mutatja, hogy a bemenet a k - edik klaszterhez tartozik. A számított mátrix megadja a klaszterek középpontját, azaz. A k -edik oszlop határozza meg a k - edik klaszter középpontját. A központok ezen ábrázolása jelentősen javítható a konvex HMP segítségével.

Ha az ortogonalitás nincs kifejezetten megadva, az ortogonalitás elég erős, és a klaszterezési tulajdonság is érvényes. A legtöbb HMP adatbányászati ​​alkalmazás fő célja a fürtözés .

Ha a Kullback-Leibler távolságot használjuk hibafüggvényként , a HMP megegyezik a valószínűségi látens szemantikai elemzéssel , amely egy népszerű dokumentumklaszterezési módszer [14] .

Típusok

Hozzávetőleges nemnegatív mátrixbontás

Általában a W mátrix oszlopainak számát és a H mátrix sorainak számát úgy választják meg, hogy a WH szorzat V közelítésévé váljon . A V mátrix teljes dekompozíciója ezután két nemnegatív W és H mátrixból, valamint egy U maradékmátrixból áll , így V = WH + U . A maradékmátrix elemei lehetnek pozitívak és negatívak is.

Ha W és H kisebb, mint V , könnyebb megjegyezni őket, és könnyebb velük dolgozni. A másik oka annak, hogy V -t kisebb W és H mátrixokra bontjuk , hogy ha lényegesen kisebb adatmennyiséggel tudjuk megközelítőleg reprezentálni V elemeit , akkor valamilyen implicit adatszerkezetre következtethetünk.

Konvex nemnegatív mátrixbontás

A szabványos HMP-ben a szorzó ，azaz. a W mátrix tetszőleges lehet ebben a térben. A konvex HMP [15] a W mátrix oszlopait a bemeneti vektorok konvex kombinációira korlátozza . Ez jelentősen javítja a W mátrix adatábrázolásának minőségét . Sőt, a H tényező ritkábbá és ortogonálisabbá válik.

A nemnegatív rang felbontása

Abban az esetben, ha a V mátrix nemnegatív rangja megegyezik a szokásos ranggal, V = WH -t nemnegatív rangsorolásnak (NRF) nevezzük [ 16] [17] [18] . Ismeretes, hogy a V mátrix megtalálásának problémája , ha van ilyen, NP-nehéz [19] .  

Különféle költségfüggvények és rendszeresítés

Különféle nemnegatív mátrixbontások léteznek. Különböző nézetek adódnak abból, hogy különböző költségfüggvényeket használnak a V és WH közötti eltérés mérésére, valamint a W mátrix és/vagy a H mátrix lehetséges szabályosságát [1] .

Két egyszerű diszkrepanciafüggvény, amelyet Lee és Seung tanulmányozott, a szórás (vagy Frobenius-norma ) és a Kullback-Leibler távolság fogalmának kiterjesztése pozitív mátrixokra ( a Kullback-Leibler távolságot eredetileg valószínűségi eloszlásokra határozták meg). Minden eltérési függvény a saját HMP-algoritmusához vezet, amely általában az iteratív frissítési szabályok segítségével minimalizálja az eltérést.

A bontási probléma a HMP négyzetes hibafüggvényének verziójában a következőképpen fogalmazható meg: A mátrix ismeretében meg kell találni a nem negatív W és H mátrixokat, amelyek minimalizálják a függvényt.

A képek NMR egy másik típusa a teljes variáció által meghatározott normán alapul [20] .

Ha az L1 regularizációt (hasonlóan a Lasso , angol  Least Absolute Shrinkage and Selection Operátorhoz ) hozzáadjuk a HMP-hez a hiba középnégyzetével megegyező célfüggvénnyel, akkor a kapott problémát nemnegatív ritka kódolásnak nevezhetjük . a ritka kódolási problémához való hasonlóság [21] [22] , bár HMP-nek is nevezhetjük [23] .

Online NMR

Számos szabványos HMP-algoritmus együtt elemzi az összes adatot. Azok. a teljes mátrix a kezdetektől elérhető. Ez elfogadhatatlan lehet azoknál az alkalmazásoknál, ahol az adatok túl sok memóriát foglalnak el ahhoz, hogy egyszerre elférjenek benne, vagy ahol az adatok folyamként érkeznek . Ez a helyzet jellemző az ajánlórendszerek együttműködési szűrésére , ahol sok felhasználó és sok objektum lehet ajánlani, és nem lenne hatékony mindent újraszámítani, amikor egy felhasználót vagy objektumot adnak a rendszerhez. Az optimalizálás célfüggvénye ezekben az esetekben lehet vagy nem azonos a szabványos HMP-vel, de az algoritmusoknak különbözniük kell [24] [25] [26] .

Algoritmusok

W és H többféleképpen is megtalálható . Lee és Seung [12] multiplikatív frissítési szabálya népszerű volt a könnyű implementáció miatt.

Algoritmus:

Inicializálás: W és H nem negatív. Frissítse a W és H értékeket kiértékeléssel (itt az iterációs index) és Amíg W és H stabilizálódik.

Vegye figyelembe, hogy a frissítés elemenként, nem mátrixszorzással történik.

A közelmúltban egy másik algoritmust fejlesztettek ki. Egyes megközelítések az interleaved legkisebb négyzetek módszerén alapulnak , nem negatív súllyal (OINS) - egy ilyen algoritmus minden lépésében először H van rögzítve , és W -t keresünk az OIE segítségével, majd W -t fix, most pedig H -t. ugyanúgy megtalálható . A W és H megtalálására használt eljárások azonosak [27] vagy eltérőek lehetnek, mivel a HMP egyes változatai a W vagy H mátrixok egyikét szabályozzák [21] . Egyes megközelítések magukban foglalják többek között a kivetített gradiens süllyedés módszereit [27] [28] , az aktív megszorítási módszereket [5] [29] , az optimális gradiens módszert [30] és a blokk-privot módszert [31] [32] .

A jelenleg létező algoritmusok szuboptimálisak, mivel garantálják, hogy a célfüggvénynek csak a lokális minimumát találjuk meg, nem pedig a globális minimumát. Bizonyított optimális algoritmusok valószínűleg nem fognak megjelenni a közeljövőben, mivel a probléma általánosítja a k-közép módszert, amely köztudottan NP-teljes [13] . Azonban, mint sok más adatelemzési probléma esetében, itt is hasznos a lokális minimum ismerete.

Soros NMR

A HMR komponensek ( W és H ) szekvenciális felépítését eredetileg a HMR és a főkomponens módszer (PCA) összekapcsolására használták a csillagászatban [33] . A PCA komponensek hozzájárulását sajátértékeik nagysága szerint rangsorolják. Egy NMP esetében az összetevői empirikusan rangsorolhatók, ha egymás után (sorosan) épülnek fel, pl. megépítjük a -edik komponenst az első komponensekkel.

Az egymást követő NMR komponensek hozzájárulását a Karhunen-Loeve tétel segítségével, sajátérték diagram segítségével lehet összehasonlítani . A PCA-ban a komponensek számának tipikus megválasztása a „térd” ponton alapul, ekkor a lapos régió megléte azt jelzi, hogy a PCA nem fogyaszt hatékonyan adatot, és ha váratlan csökkenés következik be, az véletlenszerű zajt jelez, ill. túlillesztési módba kerülni [34] [35] . A szekvenciális NMR esetében a sajátérték diagramot a relatív reziduális variancia görbével közelítjük, ahol a görbe folyamatosan csökken, és a PCA-nál nagyobb értékhez konvergál [4] , ami a soros NMR kevésbé túlillesztését jelzi.

Pontos NMR

A HMP-változatokra vonatkozó pontos megoldások ellenőrizhetők (polinomiális időben), ha az V mátrixra vonatkozó további megszorítások teljesülnek . Campbell és Poole 1981-ben adott egy polinomiális idejű algoritmust a nemnegatív rangfelbontás megoldására, ha a V mátrix a mátrix rangjával megegyező rangú monomiális részmátrixot tartalmaz [36] . Kalofoljas és Gallopoulus (2012) [37] megoldotta a probléma szimmetrikus analógját, ahol V szimmetrikus és egy r rangú diagonális főalmátrixot tartalmaz. Algoritmusuk időben fut a sűrű esetben. Arora és kutatók egy csoportja egy polinomiális idejű algoritmust javasolt a pontos HMP-hez, amely akkor működik, ha az egyik W tényező teljesíti az elválaszthatósági feltételt [38] .

Kapcsolat más technikákkal

Az Exploring Parts of Objects by Non-Negative Matrix Decompositions című cikkében Li és Seung [39] az NMR-t főként rész-alapú képbontáshoz javasolta. A cikk összehasonlítja a HMP-t a vektorkvantálással és a főkomponens -analízissel , és megmutatja, hogy bár ez a három technika felírható dekompozícióként, eltérő megszorításokat alkalmaznak, és ezért eltérő eredményeket adnak.

Később kiderült, hogy az NMR bizonyos típusai egy általánosabb valószínűségi modell, az úgynevezett "multinomiális PCA" [40] példái . Ha az NMR-t a Kullback-Leibler távolság minimalizálásával kapjuk , akkor ez valójában egy másik multinomiális PCA, valószínűségi látens szemantikai analízis [41] , amelyet maximális valószínűség-becsléssel hangolunk . Ezt a módszert általában szöveges adatok elemzésére és klaszterezésére használják, és a látens osztálymodellhez is társul .

A legkisebb négyzetek módszerének célfüggvényével rendelkező HMR a k-közép módszer gyengített formájával ekvivalens - a W mátrixtényező a klasztercentroidokat, a H pedig a klasztertagsági mutatókat tartalmazza [13] [42] . Ez elméleti igazolást ad a HMP adatfürtözéshez való használatához. A k-átlagok azonban nem biztosítanak nem-negativitást a centroidokon, így a legközelebbi analógia valójában a „félig HMP” [15] .

Az NMR egy kétszintű orientált grafikus modellnek tekinthető, amely egy szinten megfigyelt valószínűségi változókat és egy rejtett valószínűségi változót tartalmaz [43] .

Az NMR kiterjeszthető mátrixokról tetszőleges sorrendű tenzorokra [44] [45] [46] . Ez a kiterjesztés például a PARAFAC modell nem negatív analógjának tekinthető .

A HMP további kiterjesztései közé tartozik a több mátrix és tenzor együttes lebontása, ahol néhány tényező azonos. Az ilyen modellek hasznosak az érzékelőpárosításhoz és a kapcsolódási tanuláshoz [47] .

Az NMP a nem-negatív másodfokú programozás (NQP) egy példánya, akárcsak a támogatási vektorgép (SVM). Az SVM és az NMR azonban szorosabban kapcsolódik egymáshoz, mint az NCL, ami lehetővé teszi a két módszer bármelyikének megoldására kifejlesztett algoritmusok közvetlen alkalmazását mindkét területen [48] .

Egyediség

A dekompozíció nem egyedi - egy mátrix és annak inverze felhasználható két dekompozíciós mátrix átalakítására például [49] ,

Ha két új mátrix és nem negatív , akkor egy másik dekompozíciós paraméterezést alkotnak.

Nem negativitás következik, ha legalább B egy nemnegatív monomiális mátrix . Ebben az egyszerű esetben csak méretezésnek és átrendezésnek felel meg .

A HMP kétértelműsége feletti további kontrollt a mátrixok teljességének korlátozásával lehet elérni [50] .

Alkalmazások

Csillagászat

A csillagászatban az NMR ígéretes módszer a méretcsökkentésre abban az értelemben, hogy az asztrofizikai jelek nem negatívak. Az NMR-t spektroszkópiai megfigyelésekre [3] és közvetlen megfigyelésekre [4] használják csillagászati ​​objektumok általános tulajdonságainak tanulmányozására és a csillagászati ​​megfigyelések utófeldolgozására. Blanton és Rose (2007) [3] kutatóinak előrehaladása a spektroszkópiai megfigyelések terén a csillagászati ​​megfigyelések bizonytalanságának figyelembevételével függ össze, amit később Zoo (2016) [33] javított , aki szintén figyelembe vette az adatok hiányát, és párhuzamosan alkalmazta. számítástechnika . Módszereiket ezután Ren és munkatársai (2018) [4] adaptálták a közvetlen látómezőre, mint az egyik módszerre az exobolygók kimutatására , különösen a csillagkörüli korongok közvetlen megfigyelésére .

Ren és munkatársai (2018) [4] az NMR komponensek szekvenciális (azaz egymás utáni) felépítése esetén tudták kimutatni az NMR komponensek stabilitását, ami biztosítja az NMR modellezési folyamat linearitását. A linearitási tulajdonságot arra használták, hogy elválasztsák a csillagok fényét az exobolygókról és a csillagkörüli korongokról származó szórt fénytől .

Közvetlen megfigyelés során különféle statisztikai módszereket adaptáltak a halvány exobolygók és a körkörös korongok megkülönböztetésére a környező erős fénytől, amelynek tipikus kontrasztja 10⁵-10¹⁰ [51] [52] [34] , de a fény elkülönül az exobolygóktól. vagy a körkörös lemezek általában túlillesztést szenvednek, ezért a valódi áramlás kimutatásához utólagos modellezést kell alkalmazni [53] [35] . A szimulációk jelenleg pontforrásokra [35] vannak optimalizálva, de nem szabálytalan alakú struktúrákra, mint például a körkörös korongokra. Ebben a helyzetben az NMR egy kiváló módszer, amely kevésbé szenved túlillesztéstől az NMR szimulációs együtthatók nem-negativitása és ritkasága értelmében, így a szimuláció több skálázási tényezővel [4] is elvégezhető a számításigényes adatfeldolgozás helyett a számítógépen. kapott modelleket.

Szövegbányászat

A HMP használható szövegbányászathoz . Ez a folyamat különböző objektumok súlyozásával (általában a szavak előfordulási gyakoriságára vonatkozó súlyozott információkkal) egy kifejezés-dokumentum mátrixot hoz létre egy dokumentumkészletből. A mátrix objektum-attribútum és attribútum-dokumentum mátrixokra bomlik . A jellemzők a dokumentumkörnyezetből származnak, és a jellemző-dokumentum mátrix a kapcsolódó dokumentumok adatfürtjeit írja le.

Az egyik alkalmazás hierarchikus HMP-t használ a PubMed tudományos absztrakcióinak egy kis részében [54] . A kutatók egy másik csoportja az Enron [55] e-mail készletét (65033 üzenet és 91133 objektum) 50 klaszterbe csoportosította [56] . A HMP-t hivatkozási adatokra is alkalmazzák, például az angol Wikipédia -cikkek és tudományos folyóiratok csoportosítására az angol Wikipédia tudományos hivatkozásai alapján [57] .

Arora és munkatársai polinomiális idő algoritmusokat javasoltak témamodellek tanulására HMP használatával. Az algoritmus feltételezi, hogy a témamátrix teljesíti az elválaszthatósági feltételt, ami ilyen feltételek mellett gyakran előfordul [38] .

Spektrális adatok elemzése

Az NMR-t a spektrális adatok elemzésére is használják. Az egyik ilyen alkalmazás a bolygóközi objektumok és törmelékek osztályozása [58] .

Méretezhető hálózati távolság előrejelzés

A HMP-t az internetes méretezhető hálózati távolság-előrejelzésben (csomag oda-vissza úti idő) használják. HMP-t használó gazdagépekkel rendelkező hálózatok esetén az összes kapcsolat távolsága ponttól pontig már csak mérések után megjósolható. Ezt a fajta módszert először az Internet Distance Estimation Service (IDES) [59] javasolta . Ezt követően teljesen decentralizált megközelítésként a Phoenix hálózati koordinátarendszert [ 60] javasolták . Jobb kiszámíthatóságot ért el a súly fogalmának bevezetésével.   

A nem álló zaj eltávolítása a beszélgetésből

A beszélgetés zajának eltávolítása régóta probléma az audiojel-feldolgozásban . Álló zaj esetén számos zajeltávolító algoritmus létezik. Például a Wiener-szűrő alkalmas az additív Gauss-zaj kezelésére . Ha azonban a zaj nem stacionárius, a klasszikus zajeltávolító algoritmusok általában gyenge teljesítményt nyújtanak, mivel a nem álló zajra vonatkozó statisztikai információkat nehéz kiértékelni. Schmidt és munkatársai [61] az NMR segítségével távolították el a nem álló zajt a beszélgetés során, ami teljesen eltér a klasszikus statisztikai megközelítésektől. A kulcsgondolat az, hogy a tiszta jel ábrázolható egy beszélgetési szókészlettel, de a nem álló zaj nem ábrázolható. Hasonlóképpen, a nem álló zaj is leírható egy zajszótárral, de a beszélgetés nem.

A HMP-vel végzett zajeltávolítás algoritmusa a következőképpen működik. Két szótárt kell offline betanítani, az egyiket a beszélgetéshez, a másikat a zajhoz. Amint zajjal járó beszélgetést kiszolgálunk, először kiszámítjuk az ablakos Fourier-transzformáció értékét . Ezután a HMP segítségével két részre osztjuk, az egyik részt egy beszélgetési szótárral, a másik részt pedig egy zajszótárral ábrázolhatjuk. A harmadik lépésben a beszélgetési szótár által képviselt részt tiszta beszélgetésként értékeljük.

Bioinformatika

Az NMR-t sikeresen alkalmazták a bioinformatikában génexpressziós és DNS - metilációs adatok klaszterezésére , valamint a klasztereket leginkább reprezentáló gének keresésére [22] [62] [63] [64] . A rákmutáció-analízis során ezt arra használják, hogy felhívják a figyelmet a sok rákban előforduló, és valószínűleg különböző okokkal járó mutációs közös mechanizmusokra [65] .

Radionuklid képalkotás

Az ezen a területen faktoranalízisként emlegetett NMR-t az 1980-as évek óta [66] alkalmazzák képszekvencia-analízisre SPECT -ben és PET -ben . Az NMR kétértelműségét ritkaságkorlátozással oldottuk meg [67] .

Jelenlegi kutatás

A nem negatív mátrixbontással kapcsolatos jelenlegi kutatások (2010 óta) többek között a következő kérdéseket tartalmazzák

1. Algoritmikus kérdések: a faktorok globális minimumának keresése és a faktor inicializálása [68] .
2. Méretezési problémák: hogyan bonthatjuk fel a hálózatokban lévő adatok elemzésekor felmerülő milliószor milliárdos mátrixokat. Lásd az "Elosztott nem-negatív mátrixfaktorozás (DNMF)" [69] és a "Scalable Non-negative Matrix Factoring (ScalableNMF)" [70] cikkeket .
3. Online feldolgozás: hogyan lehet frissíteni a dekompozíciót új adatok beérkezésekor anélkül, hogy a nulláról kellene teljes számítást végezni [71] .
4. Co-Dekompozíció: Több, egymással összefüggő mátrix felbontása többpozíciós klaszterezéshez, lásd CoNMF [72] és MultiNMF [73] .
5. Cohen és Rothblum 1993-as problémája: Mindig van-e egy racionális mátrixnak egy minimális belső dimenziójú NMP-je, amelynek tényezői szintén racionálisak? A közelmúltban erre a kérdésre nemleges választ adtak [74] .

Lásd még

• Multilineáris algebra
• Multilineáris altér tanulás
• Tenzor

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 Dhillon, Sra, 2005 .
2. ↑ Tandon, Sra, 2010 .
3. ↑ 1 2 3 Blanton, Roweis, 2007 , p. 734-754.
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ren, Pueyo, Zhu, Duchêne, 2018 , p. 104.
5. ↑ 1 2 Gemulla, Nijkamp, ​​​​Haas, Sismanis, 2011 , p. 69–77.
6. ↑ Bao, 2014 .
7. ↑ Murrell, 2011 , p. e28898.
8. ↑ Lawton, Sylvestre, 1971 , p. 617+.
9. ↑ Paatero és Tapper 1994 , p. 111–126.
10. ↑ Anttila, Paatero, Tapper, Järvinen, 1995 , p. 1705-1718.
11. ↑ 1 2 Lee, Seung, 1999 , p. 788-791.
12. ↑ 1 2 Lee, Seung, 2001 , p. 556-562.
13. ↑ 1 2 3 Ding, He, Simon, 2005 , p. 606-610.
14. ↑ Ding, Li, Peng, 2008 , p. 3913-3927.
15. ↑ 1 2 Ding, Li, Jordan, 2010 , p. 45-55.
16. ↑ Berman, Plemmons, 1974 , p. 161–172.
17. ↑ Berman, Plemmons, 1994 .
18. ↑ Thomas, 1974 , p. 393–394.
19. ↑ Vavasis, 2009 , p. 1364–1377.
20. ↑ Zhang, Fang, Liu, Tang és mtsai, 2008 , p. 1824–183
21. ↑ 12 Hoyer , 2002 .
22. ↑ 1 2 Taslaman, Nilsson, 2012 , p. e46331.
23. ↑ Hsieh, Dhillon, 2011 , p. 1064.
24. ↑ Archivált másolat . Letöltve: 2018. október 16. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 24.. (határozatlan)
25. ↑ Fung, Li, Cheung, 2007 , p. 284–287.
26. ↑ Guan, Tao, Luo, Yuan, 2012 , p. 1087–1099.
27. ↑ Lin 12 , 2007 , p. 2756–2779.
28. ↑ Lin, 2007 , p. 1589–1596
29. ↑ Kim, Park, 2008 , p. 713-730.
30. ↑ Guan, Tao, Luo, Yuan, 2012 , p. 2882–2898.
31. ↑ Kim, Park, 2011 , p. 3261-3281.
32. ↑ Kim, Ő, Park, 2013 , p. 285-319.
33. ↑ 1 2 Zhu, Guangtun B. (2016-12-19), Nemnegatív mátrixfaktorizáció (NMF) heteroszedasztikus bizonytalanságokkal és hiányzó adatokkal, arΧiv : 1612.06037 [astro-ph.IM]. 
34. ↑ 1 2 Summer, Pueyo, Larkin, 2012 , p. L28.
35. ↑ 1 2 3 Pueyo, 2016 , p. 117.
36. ↑ Campbell, Poole, 1981 , p. 175–182.
37. ↑ Kalofolias, Gallopoulos, 2012 , p. 421–435.
38. ↑ 1 2 Arora, Ge, Halpern, Mimno et al., 2013 .
39. ↑ Lee, Seung, 1999 , p. 788–791.
40. ↑ Buntine, 2002 , p. 23–34.
41. ↑ Gaussier és Goutte 2005 , p. 601–602.
42. ↑ Zass, Shashua, 2005 .
43. ↑ Welling, Rosen-zvi, Hinton, 2004 .
44. ↑ Paatero, 1999 , p. 854-888.
45. ↑ Welling, Weber, 2001 , p. 1255-1261.
46. ↑ Kim, Park, 2012 , p. 311-326.
47. ↑ Yilmaz, Cemgil, Simsekli, 2011 .
48. ↑ Potluru, Plis, Morup, Calhoun, Lane, 2009 , p. 1218–1229.
49. ↑ Xu, Liu, Gong, 2003 , p. 267-273.
50. ↑ Eggert, Körner, 2004 , p. 2529-2533.
51. ↑ Lafrenière, Maroid, Doyon, Barman, 2009 .
52. ↑ Amara, Quanz, 2012 , p. 948.
53. ↑ Wahhaj, Cieza, Mawet, Yang et al., 2015 , p. A24.
54. ↑ Nielsen, Balslev, Hansen, 2005 , p. 520–522.
55. ↑ Cohen, 2005 .
56. ↑ Berry és Browne, 2005 , p. 249-264.
57. ↑ Nielsen, 2008 .
58. ↑ Berry, Browne, Langville, Pauca, Plemmons, 2007 , p. 155-173.
59. ↑ Mao, Saul, Smith, 2006 , p. 2273-2284.
60. ↑ Chen, Wang, Shi, 2011 , p. 334–347.
61. ↑ Schmidt, Larsen, Hsiao, 2007 , p. 431–436.
62. ↑ Devarajan, 2008 , p. e1000029.
63. ↑ Kim, Park, 2007 , p. 1495-1502.
64. ↑ Schwalbe, 2013 , p. 359-371.
65. ↑ Alexandrov, Nik-Zainal, Wedge, Campbell, Stratton, 2013 , p. 246–259.
66. ↑ Di Paola, Bazin, Aubry, Aurengo et al., 1982 , p. 1310–21.
67. ↑ Sitek, Gullberg, Huesman, 2002 , p. 216–25.
68. ↑ Boutsidis, Gallopoulos, 2008 , p. 1350–1362
69. ↑ Liu, Yang, Fan, ő, Wang, 2010 .
70. ↑ Yin, Gao, Zhang, 2014 .
71. ↑ Wang, Vipperla, Evans, Zheng, 2013 , p. 44–56.
72. ↑ Ő, Kan, Xie, Chen, 2014 .
73. ↑ Liu, Wang, Gao, Han, 2013 , p. 252–260.
74. ↑ Csisztikov, Dmitrij; Kiefer, Stefan; Marusic, Ines; Shirmohammadi, Mahsa & Worrell, James (2016-05-22), A nemnegatív mátrixfaktorizálás irracionalitást igényel, arΧiv : 1605.06848 [cs.CC]. 

Irodalom

• Max Welling, Michal Rosen-zvi, Geoffrey E. Hinton. Exponenciális családi harmóniák információ-visszakereséssel // A neurális információfeldolgozó rendszerek (NIPS) fejlődése. . – 2004.
• Julian Eggert, Edgar Korner. Ritka kódolás és NMF // Proceedings. 2004 IEEE International Joint Conference on Neural Networks . – 2004.
• Schmidt MN, Larsen J., Hsiao FT Szélzajcsökkentés nem-negatív ritka kódolással // Machine Learning for Signal Processing, IEEE Workshop. – 2007.
• Ron Zass, Amnon Shashua . Egységes megközelítés a kemény és valószínűségi klaszterezéshez // International Conference on Computer Vision (ICCV) . – Peking, Kína, 2005.
• Ding C., Li T., Jordan MI Konvex és félig nemnegatív mátrixfaktorizációk // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. – 2010.
• Pentti Paatero. A többlineáris motor: Táblázatvezérelt, legkisebb négyzetszámú program többlineáris problémák megoldására, beleértve az n-utas párhuzamos faktorelemzési modellt // Journal of Computational and Graphical Statistics . - 1999. - T. 8 , sz. 4 . – S. 854–888 . - doi : 10.2307/1390831 . — .
• Max Welling, Markus Weber. Pozitív tenzorfaktorizálás // Mintafelismerő betűk . - 2001. - T. 22 , sz. 12 . - doi : 10.1016/S0167-8655(01)00070-8 .
• Jingu Kim, Haesun Park. Gyors nemnegatív tenzorfaktorizálás aktív halmaz-szerű módszerrel // Nagy teljesítményű tudományos számítástechnika: algoritmusok és alkalmazások . - Springer, 2012. - S. 311-326.
• Kenan Yilmaz, A. Taylan Cemgil, Umut Simsekli. Generalized Coupled Tensor Factorization // Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS). . – 2011.
• Vamsi K. Potluru, Sergey M. Plis, Morten Morup, Vince D. Calhoun, Terran Lane. Hatékony multiplikatív frissítések a támogató vektorgépekhez // A 2009-es SIAM adatbányászati ​​konferencia (SDM) anyaga. - 2009. - S. 1218-1229.
• Wei Xu, Xin Liu, Yihong Gong. Nemnegatív mátrixfaktorizáción alapuló dokumentumklaszterezés // Proceedings of the 26th year international ACM SIGIR Conference on Research and Development in information retrieval . – New York: Számítógépek Szövetsége , 2003.
• Rashish Tandon, Suvrit Sra. Ritka nemnegatív mátrix közelítés: új megfogalmazások és algoritmusok . - 2010. - (Műszaki Jelentés).
• Rainer Gemulla, Erik Nijkamp, ​​​​Peter J Haas, Yannis Sismanis. Nagy léptékű mátrixfaktorizáció elosztott sztochasztikus gradiens süllyedéssel // Proc. ACM SIGKDD nemzetközi konf. a tudásfeltárásról és az adatbányászatról . - 2011. - S. 69-77.  (nem elérhető link)
• Yang Bao. TopicMF: Az értékelések és vélemények egyidejű kihasználása az ajánláshoz // American Association for Artificial Intelligence . — 2014.
• Ben Murrell. Nem negatív mátrixfaktorizálás a fehérjeevolúció igazodás-specifikus modelljeinek tanulásához // PLoS ONE. - 2011. - T. 6 , sz. 12 . - doi : 10.1371/journal.pone.0028898 . — PMID 22216138 .
• Ding C., Li T., Peng W. A nemnegatív mátrixfaktorizáció és a valószínűségi látens szemantikai indexelés közötti ekvivalenciáról  // Computational Statistics & Data Analysis. - 2008. - Kiadás. 52 . Az eredetiből archiválva: 2016. március 4.
• William H. Lawton, Edward A. Sylvestre. Önmodellező görbe felbontása // Technometria . - 1971. - T. 13 , sz. 3 . - doi : 10.2307/1267173 . — .
• Paatero P., Tapper U. Pozitív mátrixfaktorizáció: Nem negatív faktormodell az adatértékek hibabecsléseinek optimális kihasználásával // Environmetrics . - 1994. - V. 5 , sz. 2 . - doi : 10.1002/env.3170050203 .
• Pia Anttila, Pentti Paatero, Unto Tapper, Olli Järvinen. Finnországi tömeges nedves lerakódás forrásazonosítása pozitív mátrixfaktorizálással // Atmospheric Environment . - 1995. - T. 29 , sz. 14 . - doi : 10.1016/1352-2310(94)00367-T . - .
• Daniel D. Lee, H. Sebastian Seung. Tárgyak részeinek megtanulása nemnegatív mátrixfaktorizálással // Természet . - 1999. - T. 401 , szám. 6755 . - doi : 10.1038/44565 . — . — PMID 10548103 .
• Daniel D. Lee, H. Sebastian Seung. Algorithms for Non-negative Matrix Factorization // Advances in Neural Information Processing Systems 13: Proceedings of the 2000 Conference . – MIT Press , 2001.
• Zhang T., Fang B., Liu W., Tang YY, He G., Wen J. Total variation norm-based nonnegative matrix factorization for detecting discriminant representation of image patterns // Neurocomputing . - 2008. - T. 71 , sz. 10–12 . - doi : 10.1016/j.neucom.2008.01.022 .
• Berman A., Plemmons RJ Nemnegatív mátrixok inverzei // Lineáris és multilineáris algebra. - 1974. - 2. kötet , szám. 2 . – S. 161–172 . - doi : 10.1080/03081087408817055 .
• Berman A., Plemmons RJ Nemnegatív mátrixok a matematikai tudományokban. – Philadelphia: SIAM, 1994.
• Thomas LB 73-14. feladat, Nemnegatív mátrixok rangfaktorizálása // SIAM Rev .. - 1974. - V. 16 , no. 3 . - doi : 10.1137/1016064 .
• Vavasis SA A nemnegatív mátrixfaktorizáció összetettségéről // SIAM J. Optim.. - 2009. - Vol. 20 , no. 3 . - doi : 10.1137/070709967 . - arXiv : 0708.4149 .
• Inderjit S. Dhillon, Suvrit Sra. Általánosított nemnegatív mátrix közelítések Bregman eltérésekkel //NIPS . – 2005.
• Campbell SL, Poole GD Computing nonnegative rank factorizations // Linear Algebra Appl .. - 1981. - T. 35 . - doi : 10.1016/0024-3795(81)90272-x .
• Kalofolias V., Gallopoulos E. Szimmetrikus nemnegatív rangfaktorizációk számítása  // Linear Algebra Appl. - 2012. - T. 436 , sz. 2 . - doi : 10.1016/j.laa.2011.03.016 .
• Sanjeev Arora, Rong Ge, Yoni Halpern, David Mimno, Ankur Moitra, David Sontag, Yichen Wu, Michael Zhu. Gyakorlati algoritmus témamodellezéshez, bizonyítható garanciákkal // Proceedings of the 30th International Conference on Machine Learning . — 2013.
• Daniel D Lee, H Sebastian Seung. Tárgyak részeinek megtanulása nemnegatív mátrixfaktorizálással  // Természet . - 1999. - T. 401 , szám. 6755 . - doi : 10.1038/44565 . — . — PMID 10548103 .
• Wray Buntine. Variational Extensions to EM and Multinomial PCA // Proc. Európai Konferencia a Gépi Tanulásról (ECML-02) . - 2002. - T. 2430. - (LNAI).
• Eric Gaussier, Cyril Goutte. A PLSA és az NMF közötti kapcsolat és az implikációk // Proc. 28. nemzetközi ACM SIGIR konferencia a Kutatás és fejlesztés az információkeresésben (SIGIR-05) . - 2005. Archiválva : 2007. szeptember 28. a Wayback Machine -nál
• Patrik O Hoyer. Nem negatív ritka kódolás // Proc. IEEE Workshop a neurális hálózatokról jelfeldolgozáshoz . – 2002.
• Leo Taslaman, Björn Nilsson. Keretrendszer a szabályozott nem-negatív mátrixfaktorizáláshoz, a génexpressziós adatok elemzésére való alkalmazással // PLoS One . - 2012. - 7. évf . 11 . - S. e46331 . - doi : 10.1371/journal.pone.0046331 . - Iránykód . — PMID 23133590 .
• Hsieh CJ, Dhillon IS Gyors koordináta süllyedési módszerek változó kiválasztásával nem-negatív mátrixfaktorizáláshoz // Proceedings of the 17th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge discovery and data mining - KDD '11 . - 2011. - ISBN 9781450308137 . - doi : 10.1145/2020408.2020577 .
• Yik-Hing Fung, Chun-Hung Li, William K. Cheung. Online vitában való részvétel előrejelzése nemnegatív mátrixfaktorizálással . - IEEE Computer Society, 2007. - november.
• Naiyang Guan, Dacheng Tao, Zhigang Luo, Bo Yuan. Online nemnegatív mátrixfaktorizálás robusztus sztochasztikus közelítéssel // IEEE-tranzakciók neurális hálózatokon és tanulási rendszereken. - 2012. - július ( 23. évf. , 7. szám ). - doi : 10.1109/TNNLS.2012.2197827 . — PMID 24807135 .
• Chih Jen Lin. Tervezett gradiens módszerek nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz  // Neurális számítás . - 2007. - T. 19 , szám. 10 . – S. 2756–2779 . - doi : 10.1162/neco.2007.19.10.2756 . — PMID 17716011 .
• Chih Jen Lin. A multiplikatív frissítési algoritmusok konvergenciájáról nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz // IEEE-tranzakciók neurális hálózatokon. - 2007. - T. 18 , sz. 6 . - doi : 10.1109/TNN.2007.895831 .
• Hyunsoo Kim, Haesun Park. Nemnegatív mátrixfaktorizálás váltakozó nemnegativitás-korlátozott legkisebb négyzetek és aktív halmazmódszer alapján  // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . - 2008. - T. 30 , sz. 2 . – S. 713–730 . - doi : 10.1137/07069239x .
• Naiyang Guan, Dacheng Tao, Zhigang Luo, Bo Yuan. NeNMF: Optimális gradiens módszer a nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz // IEEE-tranzakciók a jelfeldolgozáson. - 2012. - június ( 60. évf. , 6. szám ). – S. 2882–2898 . - doi : 10.1109/TSP.2012.2190406 . - Iránykód .
• Jingu Kim, Haesun Park. Gyors, nemnegatív mátrixfaktorizálás: aktív halmaz-szerű módszer és összehasonlítások  // SIAM Journal on Scientific Computing . - 2011. - T. 58 , sz. 6 . - doi : 10.1137/110821172 .  (nem elérhető link)
• Jingu Kim, Yunlong He, Haesun Park. Algoritmusok nemnegatív mátrix- és tenzortényezőkhöz: Egységes nézet blokkkoordináta-descent framework alapján  // Journal of Global Optimization . - 2013. - T. 33 , sz. 2 . – S. 285–319 . - doi : 10.1007/s10898-013-0035-4 .
• Ding C., He X., Simon HD A nemnegatív mátrixfaktorizálás és spektrális klaszterezés ekvivalenciájáról // Proc. SIAM Int'l Conf. adatbányászat . - 2005. - V. 4. - ISBN 978-0-89871-593-4 . - doi : 10.1137/1.9781611972757.70 .
• Michael R. Blanton, Sam Roweis. K-korrekciók és szűrőtranszformációk az ultraibolya, optikai és közeli infravörös sugárzásban // The Astronomical Journal. - 2007. - T. 133 , sz. 2 . - doi : 10.1086/510127 . - Iránykód . - arXiv : astro-ph/0606170 .
• Bin Ren, Laurent Pueyo, Guangtun B. Zhu, Gaspard Duchêne. Nem negatív mátrixfaktorizálás: kiterjesztett szerkezetek robusztus kivonása // The Astrophysical Journal. - 2018. - T. 852 , sz. 2 . - S. 104 . - doi : 10.3847/1538-4357/aaa1f2 . - Iránykód . - arXiv : 1712.10317 .
• David Lafrenière, Christian Maroid, René Doyon, Travis Barman. HST/NICMOS Detection of HR 8799 b 1998-ban // The Astrophysical Journal Letters. - 2009. - T. 694 , sz. 2 . - S. L148 . - doi : 10.1088/0004-637X/694/2/L148 . - Iránykód . - arXiv : 0902.3247 .
• Adam Amara, Sascha P. Quanz. PYNPOINT: képfeldolgozó csomag exobolygók megtalálásához // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2012. - T. 427 , sz. 2 . - doi : 10.1111/j.1365-2966.2012.21918.x . - . - arXiv : 1207.6637 .
• Remi Soummer, Laurent Pueyo, James Larkin. Exobolygók és korongok detektálása és jellemzése Karhunen-Loève sajátképekre vonatkozó vetületek segítségével // The Astrophysical Journal Letters. - 2012. - T. 755 , sz. 2 . - doi : 10.1088/2041-8205/755/2/L28 . - Iránykód . - arXiv : 1207.4197 .
• Zahed Wahhaj, Lucas A. Cieza, Dimitri Mawet, Bin Yang, Hector Canovas, Jozua de Boer, Simon Casassus, François Ménard, Matthias R. Schreiber, Michael C. Liu, Beth A. Biller, Eric L. Nielsen, Thomas L. széna felé. A jel-zaj viszonyok javítása exobolygók és csillagkörüli korongok közvetlen képalkotásában az MLOCI segítségével // Astronomy & Astrophysics. - 2015. - T. 581 , sz. 24 . - S. A24 . - doi : 10.1051/0004-6361/201525837 . - Iránykód . - arXiv : 1502.03092 .
• Laurent Pueyo. Exobolygók detektálása és jellemzése Karhunen Loeve sajátképeire vonatkozó vetületek segítségével: Forward Modeling // The Astrophysical Journal. - 2016. - T. 824 , sz. 2 . - doi : 10.3847/0004-637X/824/2/117 . - Iránykód . - arXiv : 1604.06097 .
• Finn Årup Nielsen, Daniela Balslev, Lars Kai Hansen. A hátsó cingulate bányászata: a memória és a fájdalomkomponensek elkülönítése // NeuroImage . - 2005. - T. 27 , sz. 3 . – S. 520–522 . - doi : 10.1016/j.neuroimage.2005.04.034 . — PMID 15946864 .
• William Cohen. Enron e-mail adatkészlet . - 2005. - április.
• Michael W. Berry, Murray Browne. E-mail felügyelet nemnegatív mátrixfaktorizálással // Számítási és matematikai szervezetelmélet . - 2005. - T. 11 , sz. 3 . - doi : 10.1007/s10588-005-5380-5 .
• Finn Arup Nielsen. Tudományos idézetek csoportosítása a Wikipédiában  // Wikimánia . – 2008.
• Berry MW, Browne M., Langville AN, Pauca alelnök, Plemmons RJ algoritmusok és alkalmazások közelítő nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz // Számítási statisztika és adatelemzés. – 2007.
• Yun Mao, Lawrence Saul, Jonathan M. Smith. IDES: Internetes távolságbecslési szolgáltatás nagy hálózatokhoz // IEEE Journal on Selected Areas in Communication . - 2006. - T. 24 , sz. 12 . – S. 2273–2284 . - doi : 10.1109/JSAC.2006.884026 .
• Yang Chen, Xiao Wang, Cong Shi. Phoenix: Súlyalapú hálózati koordinátarendszer mátrixfaktorizálással . - 2011. - T. 8 , sz. 4 . - doi : 10.1109/tnsm.2011.110911.100079 . Az eredetiből archiválva : 2011. november 14.
• Devarajan K. Nemnegatív mátrixfaktorizálás: Analitikai és értelmezési eszköz a számítási biológiában // PLoS Computational Biology . - 2008. - 4. évf. , sz. 7 . - doi : 10.1371/journal.pcbi.1000029 . - Iránykód . — PMID 18654623 .
• Hyunsoo Kim, Haesun Park. Ritka nem-negatív mátrixfaktorizáció váltakozó, nem negativitás-korlátozott legkisebb négyzetek segítségével a microarray adatelemzéshez  // Bioinformatika . - 2007. - T. 23 , sz. 12 . - doi : 10.1093/bioinformatika/btm134 . — PMID 17483501 .
• Schwalbe E. A medulloblasztóma DNS-metilációs profilozása robusztus alosztályozást és jobb eredmény-előrejelzést tesz lehetővé formalinnal rögzített biopsziák segítségével // Acta Neuropathologica . - 2013. - T. 125 , sz. 3 . - doi : 10.1007/s00401-012-1077-2 . — PMID 23291781 .
• Ludmil B. Alexandrov, Serena Nik-Zainal, David C. Wedge, Peter J. Campbell, Michael R. Stratton. Az emberi rákban működő mutációs folyamatok aláírásainak megfejtése // Sejtjelentések. - 2013. - január ( 3. köt. 1. szám ). — ISSN 2211-1247 . - doi : 10.1016/j.celrep.2012.12.008 . — PMID 23318258 .
• Di Paola R., Bazin JP, Aubry F., Aurengo A., Cavailloles F., Herry JY, Kahn E. Handling of dynamic sequences in nukleáris medicina // IEEE Trans Nucl Sci . - 1982. - T. NS-29 , sz. 4 . - doi : 10.1109/tns.1982.4332188 . - Iránykód .
• Sitek A., Gullberg GT, Huesman RH Korrekció kétértelmű megoldásokhoz a faktoranalízisben büntetett legkisebb négyzetek objektív használatával // IEEE Trans Med Imaging . - 2002. - T. 21 , sz. 3 . - doi : 10.1109/42.996340 . — PMID 11989846 .
• Boutsidis C., Gallopoulos E. SVD alapú inicializálás: Előrelépés a nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz // Pattern Recognition. - 2008. - T. 41 , sz. 4 . - S. 1350-1362 . - doi : 10.1016/j.patcog.2007.09.010 .
• Chao Liu, Hung-chih Yang, Jinliang Fan, Li-Wei He, Yi-Min Wang. Elosztott nemnegatív mátrixfaktorizálás webes léptékű diadikus adatok elemzéséhez a MapReduce-en  // A 19. nemzetközi világhálókonferencia anyaga. – 2010.
• Jiangtao Yin, Lixin Gao, Zhongfei (Mark) Zhang. Skálázható nemnegatív mátrixfaktorizálás blokkalapú frissítésekkel  // Az Európai Konferencia a gépi tanulásról és a tudásfeltárás alapelveiről és gyakorlatáról az adatbázisokban. — 2014.
• Dong Wang, Ravichander Vipperla, Nick Evans, Thomas Fang Zheng. Online, nem negatív konvolutív minták tanulása beszédjelekhez  // IEEE-tranzakciók a jelfeldolgozásról. - 2013. - T. 61 , sz. 1 . – 44–56 . - doi : 10.1109/tsp.2012.2222381 . - . Archiválva az eredetiből 2015. április 19-én.
• Xiangnan He, Min-Yen Kan, Peichu Xie, Xiao Chen. Comment-based Multi-View Clustering of Web 2.0 Items  // Proceedings of the 23rd International World Wide Web Conference. - 2014. Archiválva : 2015. április 2.
• Jialu Liu, Chi Wang, Jing Gao, Jiawei Han. Többnézetű klaszterezés közös nemnegatív mátrixfaktorizálással . — A SIAM adatbányászati ​​konferencia anyaga. - 2013. - S. 252-260. — ISBN 978-1-61197-262-7 . - doi : 10.1137/1.9781611972832.28 .

További olvasnivalók

• Shen J., Israël GW Egy receptormodell specifikus, nem negatív transzformációs technikával környezeti aeroszolhoz  // Atmospheric Environment . - 1989. - T. 23 , sz. 10 . – S. 2289–2298 . - doi : 10.1016/0004-6981(89)90190-X . - .
• Pentti Paatero. Robusztus, nem negatív faktorelemzés legkisebb négyzetes formulája // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems . - 1997. - T. 37 , sz. 1 . – S. 23–35 . - doi : 10.1016/S0169-7439(96)00044-5 .
• Raul iránytű. Általánosított divergencia mértéke nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz // Neurális számítás . - 2007. - T. 19 , szám. 3 . – S. 780–791 . - doi : 10.1162/neco.2007.19.3.780 . — PMID 17298233 .
• Liu WX, Zheng NN, You QB nemnegatív mátrixfaktorizálás és alkalmazásai a mintafelismerésben  // Chinese Science Bulletin . - 2006. - T. 51 , sz. 17–18 . – 7–18.o . - doi : 10.1007/s11434-005-1109-6 . — Iránykód .  (nem elérhető link)
• Ngoc-Diep Ho, Paul Van Dooren, Vincent Blondel. Descent Methods a nemnegatív mátrixfaktorizáláshoz. – 2008.
• Andrzej Cichocki, Rafal Zdunek, Shun-ichi Amari. Nemnegatív mátrix és tenzorfaktorizálás // IEEE Signal Processing Magazine . - 2008. - T. 25 , sz. 1 . – S. 142–145 . - doi : 10.1109/MSP.2008.4408452 . - Iránykód .
• Cedric Fevotte, Nancy Bertin, Jean-Louis Durrieu. Nemnegatív mátrixfaktorizálás az Itakura-Saito divergenciával: A zeneelemzés alkalmazásával // Neurális számítás . - 2009. - T. 21 , sz. 3 . – S. 793–830 . - doi : 10.1162/neco.2008.04-08-771 . — PMID 18785855 .
• Ali Taylan Cemgil. Bayes-i következtetés nemnegatív mátrixfaktorizációs modellekhez  // Számítási intelligencia és idegtudomány . - 2009. - T. 2009 , szám. 2 . – S. 1–17 . - doi : 10.1155/2009/785152 . — PMID 19536273 .  (nem elérhető link)

Gépi tanulás és adatbányászat
Feladatok	Osztályozási probléma Tanulás tanár nélkül Tanár által segített tanulás Regresszió analízis AutoML Egyesületi szabályzat Funkció kivonás Tulajdonságok képzése Rangsorképzés Nyelvtani levezetés Online tanulás
Tanulás tanárral	k-legközelebbi szomszéd módszer Naiv Bayes osztályozó döntési fa Támogatja a vektoros gépet Lineáris regresszió Logisztikus regresszió perceptron Modellek együttesei Zsákolás fellendítése véletlenszerű erdő Releváns vektoros módszer
klaszteranalízis	k-közép módszer Fuzzy klaszterezési módszer Hierarchikus klaszterezés EM algoritmus NYÍR GYÓGYMÓD DBSCAN OPTIKA Átlageltolás
Dimenziócsökkentés	Faktoranalízis Főkomponens módszer CCA ICA LDA Nem negatív mátrix kiterjesztése t-SNE
Strukturális előrejelzés	Grafikon valószínűségi modell Bayesi hálózat Rejtett Markov-modell CRF
Anomália észlelése	k-legközelebbi szomszéd módszer Helyi kibocsátási szint
Grafikon valószínűségi modellek	Bayesi hálózat Markov hálózat Rejtett Markov-modell
Neurális hálózatok	Limitált Boltzmann gép önszerveződő térkép Aktiválási funkció Szigma alakú softmax Radiális bázisfüggvény Hátsó szaporítási módszer Mély tanulás Többrétegű perceptron Ismétlődő neurális hálózat hosszú távú rövid távú memória Ellenőrzött visszatérő blokk Konvolúciós Neurális Hálózat U-Net Autoencoder
Megerősítő tanulás	Markov folyamat Bellman egyenlet Mohó algoritmus Q-learning SARSA Időbeli különbség (TD)
Elmélet	Vapnik-Chervonenkis elmélet Elfogultság-diszperziós dilemma Számítógépes tanuláselmélet Empirikus kockázatminimalizálás Occam tanul PAC tanulás Statisztikai tanuláselmélet
Folyóiratok és konferenciák	NeurIPS ICML ML JMLR ArXiv:cs.LG