Nemlineáris dinamika

A nemlineáris dinamika egy interdiszciplináris tudomány, amely a nemlineáris dinamikai rendszerek tulajdonságait vizsgálja . A nemlineáris dinamika nemlineáris modelleket használ a rendszerek leírására, amelyeket általában differenciálegyenletekkel és diszkrét leképezésekkel írnak le. A nemlineáris dinamika magában foglalja a stabilitáselméletet , a dinamikus káoszelméletet , az ergodikus elméletet és az integrálható rendszerek elméletét .

Dinamikus rendszer alatt olyan bármilyen jellegű (fizikai, kémiai, biológiai, társadalmi, gazdasági stb.) rendszert értünk, amelynek állapota időben (diszkréten vagy folyamatosan) változik. A nemlineáris dinamika nemlineáris modelleket használ a rendszerek tanulmányozása során, leggyakrabban differenciálegyenleteket és diszkrét leképezéseket.

Egy elméletet szokás nemlineárisnak nevezni, amelyben nemlineáris matematikai modelleket használnak.

A nemlineáris rendszer egyik példája egy olyan rendszer, amely periodikusan változó paraméterekkel rendelkezik. Az ilyen rendszerekben bizonyos feltételek mellett parametrikus rezgések előfordulhatnak. A hintán álló személy, aki a felső szélső pozíciókban görnyed, az alsókban pedig felemelkedik, parametrikus oszcillációkat gerjeszt. Ebben az esetben a paraméter a lengés tehetetlenségi nyomatéka az emberrel együtt (ingaként a tömeg helyzetének változásával). A rúd keresztirányú paraméteres oszcillációit a végeire kifejtett időszakos összenyomó erők okozhatják. A paraméteres rezonanciák veszélyesek a gépekben és szerkezetekben, mivel csillapítással is lehetséges a növekvő parametrikus rezgés, és a parametrikus rezonancia nem diszkrét frekvenciákon (például kényszerrezgések során rezonanciafrekvenciák), hanem bizonyos frekvenciatartományokban lép fel.

Definíció

A matematikában a lineáris leképezés (vagy lineáris függvény) olyan leképezés, amely a következő két tulajdonságot teljesíti: $f(x)$

Additivitás vagy szuperpozíció elve : $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
Homogenitás vagy hasonlóság: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Az additivitás homogenitást jelent bármely α racionális számra, folytonos függvényekre pedig bármilyen valós α esetén. Egy komplex α esetén a homogenitási tulajdonság nem következik az additivitásból. Például egy antilineáris leképezés additív, de nem homogén. Az additivitás és homogenitás feltételeit gyakran a szuperpozíció elvében egyesítik

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

formaegyenletek

f(x)=C

lineárisnak nevezzük, ha lineáris leképezésről van szó (amely megfelel a fenti definíciónak), és nemlineárisnak egyébként. Egy egyenletet homogénnek nevezünk, ha . $f(x)$ $C=0$

A definíció nagyon általános abban az értelemben, hogy lehet bármilyen értelmes matematikai objektum (szám, vektor, függvény és így tovább), a függvény pedig bármilyen leképezés lehet, beleértve az integrációs vagy differenciálási műveleteket a kapcsolódó korlátozásokkal (például peremfeltételekkel). ). Ha levezetéseket tartalmaz az x változóra vonatkozóan , akkor az eredmény egy differenciálegyenlet. $f(x)=C$ $x$ $f(x)$ $f(x)$

A nemlineáris dinamikus viselkedés típusai

Káosz - a rendszer értéke nem megjósolható és a múlt ismert, az ingadozások időszakosak.
A multistabilitás két vagy több stabil állapot létezése.
Az amplitúdó csillapítása – a rendszerben jelenlévő oszcillációk egy másik rendszerrel való interakció vagy ugyanazon rendszer visszacsatolása következtében csillapodnak.
A szolitonok egyhullámúak , önerősítőek.

Nemlineáris algebrai egyenletek

A nemlineáris algebrai egyenletek, más néven polinomiális egyenletek, olyan egyenletként definiálhatók, amelyben a polinomok (polinomok) nullára vannak állítva. Például

x^{2}+x-1=0\,.

Egy egyszerű algebrai egyenlethez léteznek olyan algoritmusok az egyenlet gyökeinek megkeresésére, amelyek lehetővé teszik, hogy megoldást találjon ezekre az egyenletekre (vagyis olyan értékek halmaza, amelyek behelyettesíthetők az egyenletbe olyan változók helyett, amelyek kielégíti ezt az egyenletet). Az egyenletrendszerek azonban bonyolultabbak; az algebrai geometria területén tanulmányozzák őket, amely a modern matematika meglehetősen összetett ága. Néha még azt is elég nehéz meghatározni, hogy egy algebrai rendszernek vannak-e összetett gyökerei (lásd Hilbert nulltételét ). Azonban az az eset, amikor a rendszereknek véges számú komplex megoldása van, az ilyen algebrai egyenletrendszerek jól tanulmányozottak, és vannak hatékony módszerek a megoldásukra [1] .

Nemlineáris differenciálegyenletek

Egy differenciálegyenlet-rendszert nemlineárisnak mondunk, ha nem lineáris rendszer. A nemlineáris differenciálegyenletek kidolgozását igénylő problémák nagyon sokfélék, ettől függnek a megoldási vagy elemzési módszerek. A nemlineáris differenciálegyenletekre példa a Navier-Stokes egyenlet a hidrodinamikában és a Lotka-Volterra egyenlet a biológiában.

A nemlineáris problémák egyik nehézsége, hogy általános esetben lehetetlen az ismert megoldásokat kombinálni új megoldások létrehozására. Lineáris problémák esetén például lineárisan független megoldások családját használhatjuk általános megoldások megalkotására a szuperpozíció elvén. Jó példa erre az egydimenziós hőmérséklet-eloszlási probléma Dirichlet peremfeltételekkel, amely különböző frekvenciájú szinuszok időfüggő lineáris kombinációjaként oldható meg; ez nagyon rugalmassá teszi a megoldást. Nemlineáris egyenletekre is lehet találni néhány nagyon specifikus megoldást, de a szuperpozíció elvének hiánya nem teszi lehetővé új megoldások megalkotását.

Közönséges differenciálegyenletek

Az elsõ rendû közönséges differenciálegyenleteket általában a változók szétválasztási módszerével oldják meg, különösen az autonóm egyenletek esetében. Például a nemlineáris egyenlet

{\frac {du}{dx}}=-u^{2}

általános megoldása van (és részmegoldásként u = 0 is, megfelel az általános megoldás azon határának, amelynél C a végtelenbe hajlik). Az egyenlet nemlineáris, mivel így van felírva $u={\frac {1}{x+C))$

{\frac {du}{dx}}+u^{2}=0

az egyenlet bal oldala nem lineáris függvénye u -nak és deriváltjainak. Ha az u 2 kifejezést u -ra cserélnénk , akkor a probléma lineáris lenne (exponenciális lecsengési probléma).

A másod- és magasabb rendű közönséges differenciálegyenleteknek (általánosabb esetben nemlineáris egyenletrendszereknek) ritkán van zárt formájú megoldása, bár léteznek egzakt megoldások és nem elemi integrálokat használó megoldások is.

A közönséges nemlineáris differenciálegyenletek megoldására szolgáló általános elemzési módszerek a következők:

Bármilyen konzervatív mennyiség vizsgálata, különösen a Hamilton-rendszerekben
A disszipatív mennyiségek vizsgálata (lásd Ljapunov-függvény ) hasonló a konzervatív mennyiségekhez
Linearizálás Taylor-kiterjesztéssel
Változók módosítása, hogy könnyebben megtanulható űrlapot kapjon
bifurkációs elmélet
Perturbációelmélet módszerei (algebrai egyenletekre is alkalmazható)

Inga

Klasszikus, széles körben tanulmányozott nemlineáris probléma az inga dinamikája a gravitáció hatására. A Lagrange mechanika segítségével megmutatható [2] , hogy az inga mozgása leírható a dimenzió nélküli nemlineáris egyenlettel

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0

ahol a gravitációs erő "lefelé" van, és az a szög, amelyet az inga a kezdeti nyugalmi állapotával bezár, amint az a jobb oldali ábrán látható. Az egyenlet "megoldásának" egyik módja az, hogy integráló tényezőként használjuk , ami a következő eredményt adja: $\theta$ $d\theta /dt$

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}

amely az elliptikus integrált használó feltétlen megoldás. Ennek a "megoldásnak" általában kevés az alkalmazása, mivel ennek a megoldásnak a része nagyobb mértékben egy nem túl elemi integrálban van elrejtve (kivéve az esetet ). $C_{0}=2$

A probléma megoldásának egy másik megközelítése a nemlinearitás lineárissá tétele (ebben az esetben szinuszfüggvény) Taylor-sor segítségével különböző érdekes pontokon. Például a pontban a linearizáció , amelyet kisszögű közelítésnek nevezünk, a következő: $\theta=0$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0

mert . _ Ez egy egyszerű harmonikus rezgés, amely megfelel az inga oszcillációinak az útja legalsó pontja közelében. Egy másik linearizációs pont lesz , amely egy függőleges helyzetben lévő ingának felel meg: $\sin(\theta )\approx \theta$ $\theta \kb. 0$ $\theta =\pi$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2))}+\pi -\theta =0

mert . _ A feladat megoldása hiperbolikus szinuszosok felhasználásával jár, és a kisszögű közelítéssel ellentétben ez a közelítés stabil, ami azt jelenti, hogy általában korlátlanul fog növekedni, bár korlátozott megoldások létezhetnek. Ez megfelel annak a nehézségnek, hogy az inga függőleges helyzetben egyensúlyba kerüljön, ami valójában instabil állapot. $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ $\theta \approx \pi$ $|\theta |$

Egy másik érdekes linearizálás lehetséges azon pont körül, amely körül : $\theta =\pi /2$ $\sin(\theta )\approx 1$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.

Ez megfelel a szabadesés problémájának. Az inga dinamikájának nagyon vizuális ábrázolása adható meg, ha összeállítjuk ezeket a linearizációs példákat, amint azt a jobb oldali ábra mutatja. Vannak más technikák, amelyek lehetővé teszik a (pontos) fázisportrék és a hozzávetőleges oszcillációs periódusok megtalálását.

Irodalom

Malinetsky GG, Potapov AB A nemlineáris dinamika modern problémái. — M.: Szerkesztői URSS, 2000. — 326 p.
Danilov Yu. A. Előadások a nemlineáris dinamikáról. — M.: Postapiac, 2001. — 184 p.
Tabor M. Káosz és integrálhatóság a nemlineáris dinamikában. — M.: Szerkesztői URSS, 2001. — 318 p.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lazard, D. Harminc év polinomrendszer-megoldás, és most? (angol) // Journal of Symbolic Computation : Journal. - 2009. - 1. évf. 44 , sz. 3 . - P. 222-231 . - doi : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
↑ David Tong: Előadások a klasszikus dinamikáról . Letöltve: 2019. október 3. Az eredetiből archiválva : 2021. április 14. (határozatlan)

Linkek

Elektronikus könyvtár a nemlineáris dinamikáról
Journal Nonlinear Dynamics
Journal of Applied Nonlinear Dynamics (Journal on Applied Nonlinear Dynamics)
Folyóirat „Felsőoktatási intézmények hírei. Alkalmazott nemlineáris dinamika »