Többindex

A többindex (vagy többindex ) az egész index fogalmának vektorindexre történő általánosítása , amely a matematika különböző területein , számos változó függvényeihez kapcsolódik. A többindex használata segít a matematikai képletek egyszerűsítésében (tömörebb írásában).

Matematikai jelölés többindexhez

n - dimenziós többindex egy vektor

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),

nem negatív számokból áll össze. Két többindexhez és egy vektorhoz írja be: ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n))$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n))$

Összeadás és kivonás komponensenként

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

Részleges rendelés

{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\))

Abszolút érték az összetevők összegeként

{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n))

Faktoriális

\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!

Binomiális együttható

{\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _ {n} \choose \beta _{n}}

Hatványozás

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n} }

Legmagasabb parciális derivált

\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\alpha _{n))

ahol

\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}

Egyes alkalmazások

A többindex használata lehetővé teszi a klasszikus elemzés számos képletének egyszerű kiterjesztését a többdimenziós esetre. Íme néhány példa:

Multinomiális együtthatók

Ez a Bernoulli-képlet többdimenziós esetre történő általánosítására vonatkozik:

{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k !}{\alpha !}}\,x^{\alpha }

Leibniz formula

Az f és g sima függvényekhez

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha - \nu }g.

Taylor sorozat bővítése

Egy n változóból álló f analitikus függvény kielégíti a bővítést

f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n))^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x )}{\alpha !}}h^{\alpha }}.

Valójában a kellően sima funkciókhoz a végső Taylor-képlet érvényes

f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}({\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),

ahol az utolsó tag (maradvány) különféle formában írható. Például az (integrális) Cauchy alakban kapjuk

R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\részleges ^{\alpha }f(x+th)\,dt.

Differenciálási operátor

Az N- edik sorrendű részleges derivált n - dimenziós térben történő felvételéhez a formális operátort a következőképpen írjuk:

P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha )).

Integráció részenként

A kellően sima véges függvényekhez egy korlátos tartományban a következőket kínáljuk : $\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$

\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{} {(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.

Ezt a képletet az általánosított függvények és gyenge deriváltak definíciójában használják .

Példa a tétel használatára

Ha többindex és , akkor ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n))$ $x=(x_{1},\lpontok,x_{n})$

\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!))x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{egyébként.}}\end{cases}}

Bizonyítás

A bizonyítás egy hatványfüggvény közönséges deriváltjának vételének szabályán alapul:

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\ alfa )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{egyébként.}}\end{cases}} \qquad(1)

Hagyjuk , és . Akkor $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ $x=(x_{1},\lpontok,x_{n})$

{\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\ alfa _{1))\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{1}^{\beta _{1))\cdots x_{n}^{\beta _{ n))\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1))}{\partial x_{1}^{\alpha _{1))))x_{1}^{\beta _ {1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{ n}}.\end{igazított}}

Itt minden levezetés a megfelelő közönséges deriváltra redukálódik , mivel minden i -re {1-ből, . . ., n }, a függvény csak attól függ . Ezért az (1) egyenletből az következik, hogy amint α i > β i legalább egy i -re {1, -ből eltűnik. . ., n } Ellenkező esetben (amikor α ≤ β ) kapjuk ${\displaystyle \partial /\partial x_{i))$ ${\displaystyle d/dx_{i))$ $x_{i}^{\beta _{i))$ $x_{i}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta ))$

{\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\ frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}

mindenkinek . $én$ $\Doboz$

Linkek

Saint Raymond, Xavier (1991). Elemi bevezetés az áldifferenciális operátorok elméletébe . fejezet 1.1. C.R.C. Press. ISBN 0-8493-7158-9

Ez a cikk egy power oldal PlanetMath többindexes származékának anyagát használja , amely a CC-BY-SA licenc alatt áll .