Gromov-Hausdorff metrika

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Gromov-Hausdorff metrika egy módszer a két kompakt metrikus tér távolságának meghatározására . Pontosabban, ez egy metrika a kompakt metrikus terek izometrikus osztályainak halmazán.

Ezt a mérőszámot Edwards vezette be 1975-ben [1] [2] , majd M. L. Gromov fedezte fel újra és általánosította 1981-ben [3] . Gromov ezt a mérőszámot használta a polinomiális növekedési csoportokra vonatkozó tétel bizonyításakor .

Definíció

A Gromov-Hausdorff-távolság a kompakt metrikus terek izometrikus osztályai között, és a Hausdorff-távolságok legkisebb értéke a globálisan izometrikus beágyazásokban és egy közös metrikus térben lévő képek között . Ebben az esetben az infimum mind az összes globálisan izometrikus beágyazásra, mind az összes szóközre vonatkozik . $x$ $Y$ $X\hookrightarrow Z$ $Y\hookrightarrow Z$ $Z$ $Z$

Ezzel egyenértékűen meghatározhatjuk a Gromov-Hausdorff távolságot a Hausdorff távolságok legkisebb infimumaként egy olyan metrikával ellátott diszjunkt unióban , hogy a korlátozás egybeesik a bekapcsolt metrikával, a korlátozás pedig egybeesik a on metrikával . Ebben az esetben a pontos alsó korlátot veszi át az összes ilyen mérőszám . $x$ $Y$ $X\sqcup Y$ $\rho$ $\rho$ $x$ $x$ $\rho$ $Y$ $Y$ $\rho$

Megjegyzések

Gyakran kihagyják az „izometrikus osztály” szavakat, vagyis „az izometrikus osztályok közötti Gromov-Hausdorff távolságot és a „Gromov-Hausdorff távolságot és a Gromov-Hausdorff távolságot” helyett . $x$ $Y$ $x$ $Y$
Az és az izometrikus osztályok közötti távolságot általában vagy jelöli . $x$ $Y$ $d_{GH}(X,Y)$ $|X,Y|_{GH}$
A Gromov-Hausdorff metrikával felszerelt kompakt metrikus terek izometrikus osztályainak halmazát általában , vagy jelöljük . $GH$ ${\mathcal {M}}$ $\mathfrak{M}$
Az izometriákig figyelembe vett metrikus terek megfelelő osztályát jelöli . ${\mathcal {GH))$

Kapcsolódó definíciók

A kompakt metrikus terek izometrikus osztályainak sorozata konvergál egy kompakt metrikus tér izometrikus osztályához, ha $X_n$ ${\displaystyle X_{\infty ))$ $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ $n\to\infty$

Tulajdonságok

A metrikus tér útvonalhoz kapcsolódó , teljes , szétválasztható . $GH$
- Sőt, geodéziai
[ 4] ; vagyis bármely két pontját egy legrövidebb görbe köti össze, amelynek hossza megegyezik e pontok távolságával. $M$

A Gromov-Hausdorff tér globálisan inhomogén; azaz izometriacsoportja triviális [5] , de lokálisan sok a nem triviális izometria [6] .

GH

A tér izometrikus az Urysohn tér kompakt részhalmazainak egybevágósági osztályaihoz képest a Hausdorff-metrikával a mozgásig . [7]

GH

{\mathcal {U}}

{\mathcal {U}}

A Gromov-Hausdorff metrikában a metrikus terek bármely teljesen egyenletesen határolt családja viszonylag kompakt.

A metrikus terek családját teljesen egyenletesen határoltnak mondjuk, ha e családban az összes tér átmérőjét ugyanaz az állandó határolja, és bármelyikhez létezik olyan pozitív egész , hogy a -tól bármely térköz legfeljebb pontból álló -hálózatot fogad be. $x$ $\varepsilon >0$ $N(\varepszilon)$ $x$ $\varepsilon$ $N(\varepszilon)$
Ez a tulajdonság különösen magában foglalja Gromov tömörségi tételét , amely analóg Blaschke választási tételével a Hausdorff-metrikára.

Változatok és általánosítások

A definícióban lehetőség van a tömörség helyettesítésére az átmérő végességével, de ebben az esetben objektumok osztályán (és nem halmazon) fogjuk meghatározni a metrikát. Vagyis formálisan a véges átmérőjű metrikus terek izometrikus osztályának Gromov-Hausdorff metrikával felszerelt osztálya nem metrikus tér.
Ha megengedjük, hogy a metrika az értéket vegye fel , akkor az átmérő végességét is megtagadhatjuk. $\infty$

Jegyzetek

↑ D. Edwards, " The Structure of Superspace Archived 2016. március 4. at the Wayback Machine ", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975
↑ A. Tuzhilin, " Ki találta fel a Gromov-Hausdorff távolságot?" Archivált : 2016. december 20., a Wayback Machine (2016)", arXiv: 1612.00728
↑ M. Gromov, Polinomiális növekedés csoportjai és bővülő térképek, Mathematiques publikációk IHÉ.S. , 53, 1981 Archiválva : 2016. november 29.
↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), A Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.0383 . >
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Izometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Archivált : 2018. június 13., a Wayback gépen
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Archivált : június 13. 2018 a Wayback Machine -nél
↑ A. Petrunin. Tiszta metrikus geometria : bevezető előadások . — 2020. arXiv : 2007.09846

Irodalom

M. Gromov . Structures metriques pour les variétés riemanniennes, szerkesztette Lafontaine és Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Metrikus szerkezetek Riemann és nem Riemann terekhez , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (fordítás további tartalommal).
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. A metrikus geometria tanfolyama. - M., Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - 512 p. — ISBN 5-93972-300-4 .