Urysohn tér

Az Urysohn tér egy metrikus tér , bizonyos értelemben univerzális. Általában jelölik . $\mathbb {U}$

Definíció

Az Urysohn tér egy teljes szétválasztható metrikus tér a következő két tulajdonsággal: $\mathbb {U}$

Univerzális: bármely véges metrikus tér izometrikus valamely részhalmazhoz . $\mathbb {U}$
Véges homogenitás: bármely két véges izometrikus részhalmaza esetén a köztük lévő bármely izometria egy globális izometriára terjed ki . $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ $\mathbb {U}$

Megjegyzés

Ezzel egyenértékűen az Urysohn-teret teljes elkülöníthető metrikus térként határozhatjuk meg, amely rendelkezik a kiterjesztési tulajdonsággal; azaz egy véges metrikus tér részhalmazából származó bármely izometrikus leképezés kiterjeszthető izometrikus leképezésre . $\mathbb {U}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\to \mathbb {U}$

Tulajdonságok

Az Urysohn tér létezik, és az izometriáig egyedülálló. $\mathbb {U}$

Az Urysohn tér tömören homogén . Vagyis egy kompakt részhalmaz bármely izometrikus leképezése kiterjeszthető izometriára . $\mathbb {U}$ $K\subset \mathbb {U}$ $U$ $\mathbb {U}$

Az Urysohn tér homeomorf megszámlálható számú valós vonal szorzata. [egy] $\mathbb {U}$

Egy véletlenszerű, teljes szétválasztható metrikus tér generálására szolgáló természetes eljárás során a kapott tér szinte biztosan izometrikusnak bizonyul az Urysohn-térhez képest.
- Ez a tulajdonság a Rado-Erdős-Rényi gráf alaptulajdonságával analóg .

Történelem

Maurice Fréchet bebizonyította, hogy a tér $\ell ^{\infty }$ univerzális, azaz magában foglalja bármely elválasztható metrikus tér izometrikus másolatát. Azonban az Urysohn-térrel ellentétben ez sem nem teljesen homogén, sem nem szétválasztható. Felvetette ezzel az ingatlannal egy elkülöníthető tér meglétét. Egy ilyen teret Pavel Samuilovich Uryson épített . [2] $\ell ^{\infty }$

Miroslav Katetov pozitív választ adott az Uryson által feltett kérdésre , hogy létezik egy hiányos univerzális véges homogén tér . [3] Ugyanebben a cikkben az Urysohn tér kissé leegyszerűsített konstrukcióját adjuk meg.

Jegyzetek

↑ V. Uszpenszkij. "Az Urysohn univerzális metrikus tér homeomorf egy Hilbert-térhez." TopologyAppl. 139,1-3 (2004), 145-149.
↑
- "Sur un espace metrique universel" Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), 803. o. (rövid közlemény)
- "Sur un espace metrikus univerzum" Bull, de Sciences Mathematiques, 2. sorozat, 51. kötet, 1-38.
  - Fordítás: Uryson, PS "Az univerzális metrikus térről." PS Uryson. A topológiával és a matematika egyéb területeivel foglalkozik. M: 747-777.
↑ M. Kattov. „Univerzális metrikus tereken”. Általános topológia és kapcsolatai a modern elemzéssel és algebrával, VI (Prága, 1986). Vol. 16.Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin 1988, 323–330.

Linkek

Bogatyi S. A., Az Uryson-féle univerzális metrikus tér kompakt homogenitása , orosz matematika .

A. M. Vershik , A véletlenszerű metrikus tér egy Urysohn-tér, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Universality and Randomness in Geometry and Analysis , 2006. szeptember 28-án a Matematikai Intézet „Matematika és alkalmazásai” All-Institute szemináriumán tartott előadás videófelvétele . V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Véletlenszerű metrikus terek és egyetemesség , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Az Urysohn tér néhány geometriai és dinamikai tulajdonsága. TopologyAppl. 155. (2008), 1. sz. 14, 1531–1560.