Mérhető tér

A metrizálható tér egy topológiai tér , amely homeomorf valamilyen metrikus térhez . Más szóval egy olyan tér, amelynek topológiáját valamilyen metrika generálja .

Ha létezik ilyen mérőszám, akkor az nem egyedi, kivéve triviális eseteket: amikor a tér üres vagy csak egy pontból áll. Például minden mérhető tér topológiáját valamilyen korlátos metrika generálja.

A metrizálhatóság szükséges feltételei

Egy mérhető térben az erős elválaszthatósági axiómák érvényesek : normálisak , sőt kollektíven normálisak .
Minden mérhető tér parakompakt .
Minden mérhető tér kielégíti a megszámlálhatóság első axiómáját .
Bármely mérhető térben a Suslin -szám , Lindelöf-szám , sűrűség , szóródás , kiterjedés , tömeg megegyezik .

Elegendő feltétele a mérhetőség

Minden normál tér (és még minden szabályos tér is ), amelynek megszámlálható alapja van, mérhető. ( P. S. Uryson és A. N. Tikhonov )

A mérhetőség egyenértékű feltételei

A tér mérhetőségének első általános kritériumát PS Aleksandrov és PS Uryson javasolta 1923-ban . Ennek alapján a következő két tökéletesebb mérhetőségi kritériumot dolgozták ki:

egy tér akkor és csak akkor mérhető, ha összességében normális , és van egy megszámlálható , finomító nyitott fedőkészlete ;
(Stone-Arkhangelsky-kritérium) Egy tér akkor és csak akkor metrizálható, ha megszámlálható nyitott fedőkészlettel rendelkezik, és kielégíti az elválaszthatósági axiómát. Ebben az esetben a tér nyitott fedőinek halmazát akkor nevezzük fundamentálisnak, ha minden ponthoz , annak minden szomszédságához van egy fedő és egy olyan pont környéke , hogy a fedő minden eleme, amely metszi a -t, benne van a -ben . $T_{1}$ $x$ $x\X-ben$ $U_x$ ${\mathcal P}$ $Ökör$ $x$ ${\mathcal P}$ $Ökör$ $U_x$

Egy másik fontos fogalom, a lokális végesség az általános mérési kritériumok alapja.

A Nagata-Smirnov kritérium: Egy tér akkor és csak akkor mérhető, ha reguláris, és van egy bázisa , amely lokálisan véges halmazcsaládok megszámlálható halmazára bomlik . $x$

A Bing kritériuma hasonló, de diszkrét halmazcsaládokat használ a lokálisan véges halmazok helyett. A fenti alapvető mérhetőségi kritériumok kényelmes változatai az egységes alap és a szabályos bázis fogalmaihoz kapcsolódnak. A tér alapját szabályosnak (uniformnak) nevezzük, ha bármely ponthoz és bármely szomszédságához van ennek a pontnak olyan környéke, hogy az egyidejűleg metsző bázis elemeinek száma és a komplementere véges (ill. ha az ilyen elemek halmaza véges). ${\mathcal B}$ $x$ $x\X-ben$ $Ökör$ $U_x$ ${\mathcal B}$ $U_x$ $Ökör$ $\Omega \in {\mathcal B}$ $\Omega \ni x$ $\Omega \not \subset O_{x}$

Egy tér akkor és csak akkor mérhető, ha együttesen normális és egységes alapja van. $x$
Ahhoz, hogy egy -tér mérhető legyen , szükséges és elegendő, ha szabályos alapja van. $T_{1}$

A Kovalsky-tétel szerint a tüskésség megszámlálható foka ( for ) az univerzális tere minden mérhető súlytér számára . Így egy tér akkor és csak akkor mérhető, ha homeomorf egy megszámlálható fokú sün szúrósságú alterével . [egy] $\mathfrak{m}$ ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$

Különleges esetek

A mérési kritériumok egyszerűséget biztosítanak számos speciális térosztályban. Így ahhoz, hogy egy kompakt készlet mérhető legyen, a következő három feltétel bármelyike szükséges és elegendő: $x$

Ahhoz, hogy egy topológiai csoport tere metrizálható legyen, szükséges és elégséges, hogy a megszámlálhatóság első axiómája és az elválaszthatósági axióma az utóbbiban teljesüljön , majd a tér egy invariáns metrikával mérhető legyen (pl. szorzás a bal oldalon). $T_{0}$

A teljességről

Nem minden mérhető tér mérhető teljes metrikával ; ilyen például a racionális számok tere . Egy tér akkor és csak akkor metrizálható teljes metrikával, ha metrizálható és Cech teljes , azaz G δ típusú halmaz valamilyen kompakt halmazban, amely tartalmazza. A teljes metrikával mérhető terek fontos topológiai tulajdonsága a Baer-tulajdonság : a mindenütt sűrű nyitott halmazok bármely megszámlálható családjának metszéspontja mindenhol sűrű.

Változatok és általánosítások

A metrizálható terekhez a Morov-terek a tulajdonságokban állnak a legközelebb – teljesen szabályos terek nyitott fedlapok megszámlálható finomítási családjával és csipkés terekkel .

A metrika axiómáinak változtatásával, valamilyen módon gyengítésével és az ilyen "metrikák" által generált topológiák figyelembe vételével a metrizálható tér fogalmának széles köre általánosítható. Ezen az úton szimmetrizálható tereket kapunk - a háromszög egyenlőtlenség axiómájának elhagyásával . Ebbe a sémába illeszkednek a morva terek is. A metrizálhatóság fogalmának egy másik fontos általánosítása a félmezőkben és más általános jellegű algebrai képződményekben lévő értékekkel rendelkező "metrikák" figyelembevételével kapcsolatos.

Jegyzetek

↑ Swardson, MA A Kowalsky-féle sündisznó-tétel rövid bizonyítása . American Mathematical Society (1979. június 1.). Letöltve: 2014. július 12. Az eredetiből archiválva : 2014. július 14.. (határozatlan)

Irodalom

Alekszandrov, Pavel Szergejevics, Borisz Alekszejevics Paszinkov. Bevezetés a dimenzióelméletbe: bevezetés a topológiai terek elméletébe és az általános dimenzióelméletbe. - Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1973.