Gauss-Seidel módszer lineáris egyenletrendszer megoldására

A Gauss-Seidel módszer (Seidel-módszer, Libman-folyamat, szekvenciális helyettesítési módszer) egy klasszikus iteratív módszer lineáris egyenletrendszer megoldására .

Seidelről és Gaussról kapta a nevét .

A probléma leírása

Vegyük a rendszert: , hol $A\vec{x}=\vec{b}$ $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \ end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Vagy $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ & &\\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn }x_n & = & b_{n} \end{tömb} \jobbra.$

És megmutatjuk, hogyan lehet ezt Gauss-Seidel módszerrel megoldani.

Módszer

A módszer lényegének tisztázására átírjuk a problémát az űrlapba

\left\{ \begin{array}{lcr} a_{11}x_1 & = &-a_{12}x_2 - a_{13}x_3 -\ldots - a_{1n}x_n + b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & = & -a_{23}x_3 - \ldots - a_{2n}x_n + b_2\\ \ldots & &\\ a_{(n-1)1}x_1 + a_{(n- 1)2}x_2 +\lpont+ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} & = & -a_{(n-1)n}x_n + b_{n-1}\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\ldots+ a_{n(n-1)}x_{n-1}+ a_{nn}x_n & = & b_n \end{array} \right.

Itt az egyenletben átvittük a jobb oldalra az összes olyan kifejezést, amelyek tartalmazzák a , for . Ez a bejegyzés a következővel ábrázolható $j$ $x_{i}$ $i>j$

(\mathrm{L} + \mathrm{D} )\vec{x} = -\mathrm{U} \, \vec{x} + \vec{b},

ahol az elfogadott jelölésben olyan mátrixot jelent, amelynek főátlója tartalmazza a mátrix megfelelő elemeit és az összes többi nullát; míg a és mátrixok felső és alsó háromszög alakú részeket tartalmaznak , amelyek főátlóján nullák vannak. $\mathrm{D}$ $A$ $\mathrm{U}$ $\mathrm{L}$ $A$

Az iteratív folyamat a Gauss-Seidel módszerben a képlet szerint épül fel

(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k) }+{\vec {b)],\quad k=0,1,2,\ldots

a megfelelő kezdeti közelítés kiválasztása után . $\vec{x}^{(0)}$

A Gauss-Seidel módszer a Jacobi-módszer módosításaként tekinthető . A módosítás fő gondolata, hogy az új értékeket a beérkezésükkor használjuk fel, míg a Jacobi-módszerben csak a következő iterációig: $\vec{x}^{(i)}$

\left\{\begin{array}{ccccccccccc} {x_{1}}^{(k+1)} &=& c_{12}{x_2^{(k))) &+& c_{13}x_3 ^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{1n}{x_n}^{(k)} &+& d_1 \\ {x_{2}}^{(k+1)} & =& c_{21}{x_1^{(k+1)}} &+& c_{23}x_3^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{2n}{x_n}^{ (k)} &+& d_2 \\ \lpontok & & & & & & & & & & & \\ {x_{n}}^{(k+1)} &=& c_{n1}{x_1^{( k+1)}} &+& c_{n2}{x_2^{(k+1)}}&+& {\ldots}&+& c_{n(n-1)}{x_{n-1} }^{(k+1)} &+& d_n \end{array}\right.,

ahol

c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases} }\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.

Így a -edik közelítés i -edik komponensét a képlet számítja ki $(k+1)$

x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _ {j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.

Például amikor : $n=3$

x_{1}^{{(k+1)}}=\összeg _{{j=1}}^{{1-1}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\összeg _{{j=1}}^{{3}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{1}

, vagyis

x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13} x_{3}^{(k)}+d_{1},

x_{2}^{{(k+1)}}=\összeg _{{j=1}}^{{2-1}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\összeg _{{j=2}}^{{3}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{2}

, vagyis

x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{ 23}x_{3}^{(k)}+d_{2},

x_{3}^{{(k+1)}}=\összeg _{{j=1}}^{{3-1}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\összeg _{{j=3}}^{{3}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{3}

, vagyis

x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+ c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.

Konvergencia feltétel

Tegyünk egy elégséges feltételt a módszer konvergenciájához.

Tétel .
Legyen, ahola mátrix inverze -re. Ezután a kezdeti közelítés bármely választásához:

\|\mathrm {A} _{2}\|<1

\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\ matematika {D} )^{-1}

(\mathrm {L} +\mathrm {D} )

\vec{x}^{(0)}

a Gauss-Seidel módszer konvergál;
a módszer konvergencia sebessége megegyezik egy geometriai haladás nevezővel való konvergenciájának sebességével ; $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$
helyes hibabecslés: . $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0) }-{\vec {x}}\|$

Felmondási feltétel

A Seidel iteratív folyamat befejezésének feltétele, ha a pontosság egyszerűsített formában érhető el, a következő: $\varepsilon$

\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \varepsilon

Az iteratív folyamat befejezésének pontosabb feltétele a forma

\parallel Ax^{(k)}-b\parallel \le \varepsilon

és több számítást igényel. Ritka mátrixokhoz jó .

Megvalósítási példa C++ nyelven

#include <iostream> #include <cmath> névtér használata std ; // Végfeltétel bool konverge ( double xk [ 10 ], double xkp [ 10 ], int n , double eps ) { kettős norma = 0 ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) norma += ( xk [ i ] - xkp [ i ]) * ( xk [ i ] - xkp [ i ]); return ( sqrt ( norma ) < eps ); } dupla okr ( double x , double eps ) { int i = 0 ; double neweps = eps ; míg ( új hírek < 1 ) { i ++ ; neweps *= 10 ; } int okr = pow ( double ( 10 ), i ); x = int ( x * okr + 0,5 ) / double ( okr ); visszatér x ; } bool átló ( dupla a [ 10 ][ 10 ], int n ) { int i , j , k = 1 ; dupla összeg ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { összeg = 0 ; for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) összeg += abs ( a [ i ][ j ]); összeg -= absz ( a [ i ][ i ]); if ( összeg > a [ i ][ i ]) { k = 0_ _ cout << a [ i ][ i ] << " < " << összeg << endl ; } más { cout << a [ i ][ i ] << " > " << összeg << endl ; } } return ( k == 1 ); } int main () { setlocale ( LC_ALL , "" ); dupla eps , a [ 10 ][ 10 ], b [ 10 ], x [ 10 ], p [ 10 ]; int n , i , j , m = 0 ; int metódus _ cout << "Adja meg a négyzetmátrix méretét: " ; cin >> n ; cout << "Adja meg a számítási pontosságot: " ; cin >> eps ; cout << "A mátrix kitöltése: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = " ; cin >> a [ i ][ j ]; } cout << endl << endl ; cout << "Az A mátrixod: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) cout << a [ i ][ j ] << " " ; cout << endl ; } cout << endl ; cout << "Töltsd ki az ingyenes tagok oszlopot: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { cout << "B[" << i + 1 << "] = " ; cin >> b [ i ]; } cout << endl << endl ; /* A módszer előrehaladása, ahol: a[n][n] - Együtthatók mátrixa x[n], p[n] - Jelenlegi és korábbi megoldások b[n] - Jobb oldali részek oszlopa A fenti tömbök mindegyike valós és meg kell határozni a főprogramban, az x[n] tömbbe is be kell tenni a kezdőbetűt megoldás oszlop közelítése (pl. minden nulla) */ for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) x [ i ] = 1 ; cout << "Diagonális dominancia: " << endl ; if ( átlós ( a , n )) { csináld { for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) p [ i ] = x [ i ]; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { double var = 0 ; for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) if ( j != i ) var += ( a [ i ][ j ] * x [ j ]); x [ i ] = ( b [ i ] - var ) / a [ i ][ i ]; } m ++ ; } while ( ! konverge ( x , p , n , eps )); cout << "Rendszerdöntés:" << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << "x" << i << " = " << okr ( x [ i ], eps ) << "" << endl ; cout << "Iterációk: " << m << endl ; } else { cout << "Nincs átlós dominancia" << endl ; } system ( "szünet" ); return 0 ; }

Megvalósítási példa Pythonban

import numpy mint np def seidel ( A , b , eps ): n = len ( A ) x = np . nullák ( n ) # nulla vektor converge = Hamis , miközben nem konvergál : x_new = np . másolás ( x ) i - re az ( n tartományban ): s1 = összeg ( A [ i ][ j ] * x_új [ j ] j esetén az ( i ) tartományban ) s2 = összeg ( A [ i ][ j ] * x [ j ] j esetén az ( i + 1 , n ) tartományban ) x_új [ i ] = ( b [ i ] - s1 - s2 ) / A [ i ][ i ] konvergál = np . sqrt ( összeg (( x_új [ i ] - x [ i ]) ** 2 for i tartományban ( n ))) < = eps x = x_new vissza x

Lásd még

Jegyzetek

Linkek

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás