Lokális de Moivre-Laplace tétel

A Moivre - Laplace -tétel a valószínűségszámítás egyik korlátozó tétele, amelyet Laplace állított fel 1812 -ben . Ha a független kísérletek mindegyikére valamely véletlen esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő , és azoknak a kísérleteknek a száma, amelyekben az ténylegesen bekövetkezik, akkor az egyenlőtlenség érvényességének valószínűsége közel van (nagy esetén) a a Laplace-integrál. $n$ $E$ $p\in(0,1)$ $m$ $E$ $n$

Alkalmazás

Ha figyelembe vesszük egy esemény előfordulásának számát a Bernoulli-próbákban, akkor leggyakrabban meg kell találni azt a valószínűséget, amely bizonyos értékek és . Mivel kellően nagy esetén az intervallum sok egyest tartalmaz, akkor a binomiális eloszlás közvetlen használata $m$ $A$ $n$ $m$ $a$ $b$ $n$ $[a,b]$

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(nm)!}}p^{m}q^{{nm}}$

nehézkes számításokat igényel, mivel nagyszámú, ezzel a képlettel meghatározott valószínűséget össze kell foglalni.

Ezért a binomiális eloszlás aszimptotikus kifejezését használjuk, feltéve, hogy ez rögzített, és . A Moivre-Laplace tétel kimondja, hogy a binomiális eloszlás ilyen aszimptotikus kifejezése normális függvény. $p$ $n\jobbra nyíl +\infty$

Megfogalmazás

Ha a Bernoulli-sémában a végtelenbe hajlik, az érték állandó, és az érték egyenletesen korlátozódik -ben (vagyis ), akkor $n$ $p\in(0,1)$ $x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq))))$ $m$ $n$ $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$

$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}} \jobbra)(1+\alpha _{n}(m))$

ahol . $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$

Hozzávetőleges képlet

$P_{n}(m)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2)){2} }\jobb)$

címen és címen ajánlott jelentkezni . $n>100$ $m>20$

Bizonyítás

A tétel bizonyítására a matematikai elemzésből származó Stirling-képletet használjuk :

s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s)),

(egy)

ahol . $0<\theta _{s}<1/{12s}$

Nagyban az érték nagyon kicsi, és a hozzávetőleges Stirling-képlet egyszerű formában írva $s$ $\theta$

s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}

(2)

kis relatív hibát ad, gyorsan nullára hajlik a -nál . $s\rightarrow +\infty$

Olyan értékekre leszünk kíváncsiak , amelyek nem nagyon különböznek a legvalószínűbbtől. Akkor, rögzített feltételek mellett , ez azt is jelenti $m$ $p$ $n\jobbra nyíl +\infty$

m\rightarrow +\infty ,nm\rightarrow +\infty .

(3)

Ezért érvényes a Stirling-féle közelítő képlet a faktoriálisok helyettesítésére a binomiális eloszlásban, és azt kapjuk,

p_{n}(m)\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(nm)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{ m}\left({\frac {nq}{nm}}\jobbra)^{nm}.

(négy)

Használnia kell a relatív gyakoriságnak a legvalószínűbb értéktől való eltérését is:

x_{m}={\frac {m}{n}}-p.

(5)

Ekkor a (4) kifejezés a következő alakot veszi fel:

p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{ \frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^ {-n(q-x_{m})}.

(6)

Tegyünk úgy, mintha

x_{m}<pq.

(7)

A (6) egyenlőség második és harmadik tényezőjének logaritmusát felvéve a Taylor-sor kiterjesztését alkalmazzuk:

-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln { \left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{ 2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_ {m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3} }}-\cdots\right)\right].

(nyolc)

A jogkörök bővítésének feltételeit rendezzük : $x_{m}$

-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\ jobb)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2} }}\right)+\cdots\right].

(9)

Tegyük fel, hogy a $n\rightarrow +\infty ,$

nx_{m}^{3}\rightarrow 0.

(tíz)

Ez a feltétel, amint azt fentebb már említettük, azt jelenti, hogy a figyelembe vett értékek nem állnak messze a legvalószínűbbtől. Nyilvánvaló, hogy a (10) biztosítja a (7) és (3) teljesülését. $m$

Most, figyelmen kívül hagyva a (6) bővítés második és azt követő tagját, azt találjuk, hogy a (8) jobb oldalán lévő szorzat második és harmadik tagjának szorzatának logaritmusa egyenlő

-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.

(tizenegy)

Az első tényező (6) zárójelben lévő kis tagjait elvetve megkapjuk

p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq))}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq }}x_{m}^{2}\jobbra)}.

(12)

Jelölve

\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},

(13)

írja át (12) mint

p_{n}(m)\approx {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{ \frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),

(tizennégy)

Hol van egy normális funkció. $\varphi (x_{m})$

Mivel az intervallumban csak egy egész szám van , azt mondhatjuk, hogy van valószínűsége az intervallumba esésnek . Az (5)-ből az következik, hogy az 1-gyel történt változás megfelel a változásnak $[m,m+1)$ $m$ $p_{n}(m)$ $m$ $[m,m+1)$ $m$ $x_{m}$

\Delta x={\frac {1}{n)).

(tizenöt)

Ezért az intervallumba való esés valószínűsége egyenlő az intervallumba való esés valószínűségével $m$ $[m,m+1)$ $x_{m}$ $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.

(16)

Ha , akkor a (16) egyenlőség azt is mutatja, hogy a normálfüggvény a valószínűségi változó sűrűsége . $n\jobbra nyíl +\infty$ $\Delta x\rightarrow +0$ $\varphi(x)$ $x_{m}$

Így, ha akkor a relatív gyakoriságnak a legvalószínűbb értéktől való eltérésére a (16) aszimptotikus képlet érvényes, amelyben c és -nek normális függvénye . $n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$ $\varphi(x)$ $x_{m}=0$ $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$

Így a tétel bizonyítva van.

Irodalom

Gmurman V. E. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, - M . : Felsőoktatás. 2005
Shiryaev A. N. Valószínűség, - M .: Nauka. 1989.
Chistyakov V. P. Valószínűségelmélet tanfolyam, Moszkva , 1982.