Lemma Gordan

A Gordan -féle lemma a konvex geometria és az algebrai geometria területéből származó lemma . Számos egyenértékű készítménye van:

Konvex racionális poliéderkúp esetén a benne elhelyezkedő egész koordinátákkal rendelkező pontok félcsoportja ( monoid ) végesen generálódik [1] .
Legyen egész mátrix. Legyen a rendszer nemnegatív egész megoldásainak halmaza . Ezután van egy véges részhalmaz , amelyben minden elemet nemnegatív egész együtthatókkal rendelkező vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolunk [2] . $A$ $M$ $A\cdot x=0$ $N\subset M$ $M$ $N$
Az affin tórikus változat egy algebrai változat (lásd alább ).

A lemma P. A. Gordan (1837-1912) matematikusról kapta a nevét .

Bizonyíték

Geometriai bizonyítás

Legyen adott egy konvex racionális poliéderkúp , amelyet vektorok kúpként generálnak . Legyen az adott kúp egész pontjainak félcsoportja, azaz. $\sigma ^{\vee }$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r))$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$

S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},

hol van annak a térnek a mérete, amelyben a kúp található . Ekkor egy tetszőleges pont így ábrázolható $d$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$ $x\in S_{\sigma }$

x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},

ahol az at nem negatív együtthatók egy nem negatív egész szám és a tört rész összegére bonthatók . De mivel az első összeg egész szám, a második összegnek is egy egész rács vektorának kell lennie. Ebben az esetben a második összeg korlátozott területen van, csak a vektoroktól függ , de a vektortól nem , így csak véges számú lehetőség van rá. Így végesen generálódik [3] . $u_{i}$ $n_{i}$ $0\leqslant r_{i}<1$ $x$ $u_{i}$ $x$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$

Algebrai bizonyítás

A [4] bizonyítása azon a tényen alapul, hogy egy félcsoport akkor és csak akkor véges, ha a félcsoport-algebrája végesen generált algebra . $S$ $\mathbb {C} [S]$ $\mathbb {C}$

Először bizonyítsunk be egy segédlemmát fokozatos algebrákon.

Lemma : Legyen egy Noether -féle gyűrű . Ezután végesen generált algebra vége . $A$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle A^{+}=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n))$ $A_0$

A lemma bizonyítása: legyen minden pozitív fokú homogén elem által generált ideál . Noether-féle léténél fogva az ideált véges számú, pozitív fokú homogén elem generál . Legyen az elemek hatványainak maximuma . Ha egy pozitív fokú homogén elem, amely nagyobb, mint az összes fokszáma , akkor a következőképpen ábrázoljuk . Lehetőség van mindegyikből csak a fokozat homogén összetevőjét figyelembe venni , megkapva az egyenlőséget , ahol vannak pozitív fokozatú homogén elemek, és ez a fok szigorúan kisebb lesz, mint . Így, ha indukciót alkalmazunk a fokon , könnyen belátható, hogy mit generálunk -algebraként . Be kell mutatni, hogy végesen generált -algebra, amelyhez elegendő megmutatni, hogy mindegyik végesen generált -modul . Valóban, legyen egyre növekvő lánc a beágyazott véges generált részmodulokból , amelyek egyesítése egyenlő mindennel . Megfontolható az ideálok láncolata . Mivel noetheri , valamilyen lépésben stabilizálódik, ami azt jelenti, hogy stabilizálódik is [4] . ${\displaystyle I=\bigoplus \limits _{i=1}^{\infty }A_{i))$ $A$ $A$ $én$ $f_{i}$ $f_{i}$ $d$ $f$ $f_{i}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$ $GI$ ${\displaystyle \operátornév {deg} f-\operátornév {deg} f_{i))$ ${\textstyle f=\sum _{i}{\overline {g}}_{i}f_{i}}$ ${\overline {g}}_{i}$ $\operatorname {deg} f$ $f$ $A^+$ ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d))$ $A_0$ ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d))$ $A_0$ $A_{i}$ $A_0$ $N_{j}$ $A_{i}$ $A_{i}$ $N_{j}A$ $A$ ${\displaystyle N_{j}=N_{j}A\cap A_{i))$

Most bizonyítsuk be, hogy a következő állítás minden szubmonoidra érvényes: ${\displaystyle S\subset \mathbb {Z} ^{d))$

Ha végesen generált (monoidként), akkor egy tetszőleges egész vektorhoz , amely a kettős rácsban fekszik ahhoz a rácshoz, amelyben a monoid található, a szubmonoid is végesen generálódik.

S

v

{\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geqslant 0\))

Valóban, tekintsünk egy algebrát , legyen az alapja . Ezen beírhatja a -grading: $A=\mathbb {C} [S]$ $\chi ^{a},\,a\in S$ $\mathbb {Z}$

{\displaystyle A_{n}=\operátornév {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\))

Feltételezve , hogy végesen generált, tehát noetheri. Ekkor a bizonyított lemmából az következik, hogy végesen generált algebra over . A félcsoport egy alacsonyabb dimenziójú altérben található, így a dimenzióra történő indukcióval feltételezhetjük, hogy az is véges generált, és így az algebra végesen generált. Így végesen generálódik [4] . $A$ ${\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n))$ $A_0$ ${\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\))$ $A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]$ ${\displaystyle S^{+))$

Végül Gordan lemmája következik a bizonyított állításból. Valójában tekinthetjük a teljes egész rácsot, és alkalmazhatjuk a lemmát minden olyan hipersíkra, amely egy poliéderkúp maximális dimenziójának lapját határozza meg, amíg a kúp belsejében egész pontokból álló monoid marad [4] . $S$

Alkalmazások

Affin tórikus fajták

Az affin tórikus változat standard definíciójában, ha a rácsnak megfelelő térben van egy rács és egy konvex racionális poliéderkúp , félcsoportot szerkesztünk , abból algebrát és spektrumát tekintjük . Ennek a definíciónak a helyessége a Gordan-lemmából következik: az eredményül kapott algebra véges generált, vagyis valóban egy affin változatot határoz meg spektrumaként [5] . $M$ $\sigma ^{\vee }$ $\sigma ^{\vee }\cap M$ $\mathbb {C} [\sigma ^{\vee }\cap M]$

Egy felbonthatatlan multihipergráf maximális foka

A sok csúcsot tartalmazó több hipergráf részhalmazok több halmaza . A multihipergráfot szabályosnak nevezzük, ha minden csúcsnak azonos a foka . Egy multihipergráfot felbonthatónak nevezünk , ha meg tudja választani a saját nem üres részhalmazát úgy, hogy a multihipergráf bizonyos fokig szabályos is legyen . A természetes esetén a csúcsokon lévő felbonthatatlan multihipergráf maximális fokát jelöljük . Gordan lemmájából az következik, hogy természetesen [2] . $V$ $V$ ${\megjelenítési stílus (V,E)}$ $F\subset E$ ${\megjelenítési stílus (V, F)}$ $k<n$ $n$ $D(n)$ $n$ $D(n)$

Bizonyítás : a csúcsok minden részhalmazához definiálunk egy változót (nem negatív egész értékeket véve). Adjunk hozzá még egy változót (nem negatív egész értékeket is elfogadva). Tekintsünk egy egyenletkészletet (minden csúcshoz egy egyenlet): $S$ ${\displaystyle x_{S))$ $d$ $n$

\forall v\in V\colon \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0

Minden megoldás egy szabályos csúcskészletű multihipergráfot ad meg : meghatározza a megfelelő hiperélek sokaságát, és a csúcsok fokát. Gordan lemmája szerint a megoldások halmazát véges megoldáshalmaz állítja elő, vagyis létezik véges multihipergráf halmaz úgy, hogy minden szabályos multihipergráf néhány elem lineáris kombinációja . Minden felbonthatatlan multihipergráfnak ben kell lennie , azaz halmaza véges [2] . $(\mathbf {x} ,d)$ $V$ $\mathbf {x}$ $d$ $M$ $M$ $M$

Jegyzetek

↑ David A. Cox, Előadások a tórikus fajtákról Archiválva : 2021. május 6. a Wayback Machine -nél . Előadás 1. Tétel 1.11.
↑ 1 2 3 Alon, N.; Berman, K. A. (1986-09-01). „Szabályos hipergráfok, Gordon lemma, Steinitz lemma és invariáns elmélet” . Journal of Combinatorial Theory, A sorozat. 43 (1): 91-97. DOI : 10.1016/0097-3165(86)90026-9 . ISSN 0097-3165 . Archiválva az eredetiből, ekkor: 2021-08-31 . Letöltve: 2021-08-16 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ CLS, 2011 , 1.2.17. javaslat.
↑ 1 2 3 4 BG, 2009 , Lemma 4.12
↑ CLS, 2011 , pp. 52-53.

Irodalom

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toric fajták (angol) . - American Mathematical Soc., 2011. - P. 841. - (Matematika diploma). — ISBN 9780821848197 .
Winfried Bruns, Joseph Gubeladze. Politópok , gyűrűk és K-elmélet . - Springer, 2009. - (Springer-monográfiák a matematikából). - doi : 10.1007/b105283 .