Tórikus fajta

A tórikus változat egy olyan algebrai változat , amely az algebrai tórusz -et nyitott, sűrű részhalmazként tartalmazza, így a tórusz önmagára gyakorolt hatása bal oldali szorzással a teljes változatra kiterjed. Ha a fajta összetett , akkor az algebrai tórusz . Általában a tórikus fajtákat normálnak tekintik . Létezik egy párhuzamos elmélet is, amely szimplektikus variációkat használ algebrai változatok helyett . ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n))$

Egy tórikus fajta létrehozható egy ventilátorból, és minden normál tórikus fajtát így kapunk. Ez a konstrukció nem elemi abban az értelemben, ahogy a gyűrű spektrumának fogalma megköveteli . Egy másik konstrukció egy projektív tórikus változat konstrukciója megfelelő konvex politóp mellett, amely a sémalgebrai geometria fogalmainak igénybevétele nélkül is megfogalmazható .

Fan design

Affine case

Legyen -dimenziós tórusz, $T$ $n$

N={\textrm {Hom}}(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}

egy szabad Abel-csoport , amelyet az egyparaméteres alcsoportok rácsának neveznek , és

M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )\cong {\textrm {Hom}}(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}

a kettős Abel-csoport, amelyet monomiális rácsnak neveznek . Tegyük fel, hogy egy vektortérben adott egy kúp , amely szigorúan konvex (vagyis nem tartalmaz egyidejűleg nullától eltérő és ) vektorokat, és véges számú racionális vektorral (-ből származó vektorokkal ) konvex kúpként generálódik . Vegyük a kettős térben fekvő kettős kúpot , és metsszük a rácsot . Ennek a rácsnak az elemei az algebrából monomiálisoknak tekinthetők , így algebrát kapunk . A kúpnak megfelelő affin tórikus változat ennek az algebrának a spektruma . $N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ $\sigma$ $v$ ${\megjelenítési stílus (-v)}$ $N_{\mathbb {Q} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\sigma ^{*}$ $M_{\mathbb {R} }$ $M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )$ $\mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $X_{\sigma }$ $\sigma$

Sőt, a tórusz önmagára gyakorolt hatása szorzással tovább folytatódik, mivel az algebrát monomiumok generálják. A kúp szigorú konvexitása miatt a beágyazás kettős leképezése nyitott beágyazás. Mivel a kúpot véges számú racionális vektor generálja, a Gordan-lemma kimondja, hogy egy algebra véges, azaz spektruma egy változat. $T$ $X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $T\to X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\to \mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$

Ragasztás

A kettős kúpra való átállás szükségességét az magyarázza, hogy ekkor lehetővé válik a kúpok ventilátorba ragasztása.

Építés egy poliéderen

Irodalom

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Tórikus fajták (neopr.) . - American Mathematical Soc., 2011. - P. 841. - (Matematika diploma). — ISBN 9780821848197 . Archivált : 2014. november 12. a Wayback Machine -nál
Michèle Audin, Ana Cannas da Silva, Eugene Lerman. Integrálható Hamilton- rendszerek szimplektikus geometriája . — Birkhauser, 2012. - P. 226. - ISBN 9783034880718 .
G. Yu. Panina. Toric fajták. Bevezetés az algebrai geometriába .