Alexandrov-Cech kohomológia

Az Alexandrov-Cech kohomológia egy kohomológiaelmélet , amely egy topológiai tér nyitott lefedésének tulajdonságain alapul . Az ilyen kohomológia kényelmesnek bizonyul a patológiás terek tanulmányozásában.

A konstrukció lényege, hogy ha egy tér fedelét kellően kis halmazok alkotják, akkor a burkolat idegének kohomológiája jól közelíti magának a térnek a kohomológiáját.

Alekszandrovról és Cechről nevezték el . Általában jelzéssel . ${\check {H}}^{*}$

Épület

Legyen egy topologikus tér, és legyen a nyílt lefedése . Jelölje a fedőideg . $x$ ${\mathcal {V))$ $x$ $N_{\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V))$

Tegyük fel, hogy a borító be van írva a borítóba , azaz bármely -ból származó halmaz benne van a -tól származó valamelyik halmazban . Válasszunk egy olyan leképezést, amely az azt tartalmazó halmazból társítja az egyes halmazokat . Ez a leképezés idegtérképezést indukál . A kohomológiai gyűrűk indukált homomorfizmusa nem függ a választástól . (Mivel egyszerű komplexekkel dolgozunk, nem mindegy, hogy a kohomológia elméletek közül melyiket választjuk.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $f$

A homomorfizmusokkal rendelkező kohomológiai gyűrűk inverz rendszert alkotnak. Ez lehetővé teszi az inverz határérték elérését $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Az így kapott gyűrűt a tér Cech-kohomológiájának nevezzük együtthatókkal . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $x$ $G$

Kapcsolat más kohomológiai elméletekkel

A kóros terek esetében a Cech-kohomológia eltérhet a szinguláris kohomológiától.
- Például, ha X egy lengyel kör , akkor , while ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Ha X homotópia ekvivalens egy CW-komplexszel , akkor a Cech-kohomológia természetesen izomorf a szinguláris kohomológiával . ${\check {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Ha X egy sima sokaság , akkor a Cech-kohomológia természetesen izomorf a de Rham-kohomológiával . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Linkek

Alexandrov P. S., „Ann. of Math., 1928, v. 30. o. 101-87;
Sech E., "Fundam. matematika.", 1932, t. 19. o. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Differenciálformák az algebrai topológiában (határozatlan) . - New York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allen Algebrai topológia (határozatlan) . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wells, RaymondDifferenciálelemzés összetett elosztókon . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . 2. fejezet A. függelék