Kepleri probléma
A golyók legközelebbi csomagolási problémáját lásd Kepler sejtésében .A klasszikus mechanikában a Kepler-probléma a kéttest -probléma speciális esete , amelyben két test olyan központi erőn keresztül lép kölcsönhatásba, amelynek nagysága a köztük lévő távolság négyzetével fordítottan változik . Az erő lehet vonzó vagy taszító. A feladat az, hogy megtaláljuk a testek koordinátáinak vagy sebességeinek időfüggését adott tömegeknél és a sebességek és koordináták kezdeti értékénél. A klasszikus mechanika segítségével a megoldás Kepleri pályákkal fejezhető ki a hat pályaelem segítségével .
A Kepler-probléma Johannes Keplerről kapta a nevét , aki javasolta a Kepler-féle bolygómozgás-törvényeket (amelyek a klasszikus mechanika részét képezik és megoldják a Kepler-problémát a bolygópályákra), és megvizsgálta azokat az erőtípusokat, amelyek a Kepler-törvényeket kielégítő pályák létezéséhez vezetnek. (az úgynevezett inverz Kepler-probléma).
Alkalmazások
A Kepler-probléma sok esetben megnyilvánul, és néhány nem kapcsolódik a fizikához, és maga Kepler tanulmányozta.
Kepler problémája fontos az égi mechanika, Newton gravitációs inverz négyzettörvény elmélete számára . Ilyen például a műholdak mozgása a bolygók körül, a bolygók mozgása a napjuk körül, a kettőscsillagok mozgása egymás körül. A Kepler-probléma két töltött részecske mozgásának esetére is fontos, amelyek között a Coulomb-erők hatnak , és betartják a fordított négyzettörvényt is. Ilyen például a hidrogénatom , a pozitrónium és a müónium , amelyek mind fontos szerepet játszanak a modellezési rendszerekben a fizikai elméletek tesztelésében és a fizikai állandók mérésében.
A Kepler-probléma és az egyszerű harmonikus oszcillátor -probléma a klasszikus mechanika két legalapvetőbb problémája. Ez az egyetlen két eset, amelynek zárt pályája van, vagyis az objektum azonos sebességgel tér vissza ugyanabba a kiindulási pontba ( Bertrand-probléma ). A Kepler-problémát gyakran használják a klasszikus mechanika új módszereinek kidolgozására, mint például a Lagrange-mechanika , a Hamilton-mechanika , a Hamilton-Jacobi-egyenlet , a cselekvési szögváltozók . A Kepler-probléma megőrzi a Laplace-Runge-Lenz vektort , amelyet más kölcsönhatásokra általánosítottak. A Kepleri-probléma megoldása lehetővé teszi a tudósok számára, hogy bemutassák, hogy a bolygók mozgása kimerítően leírható a klasszikus mechanika törvényeivel és Newton klasszikus gravitációs elméletével ; a bolygók mozgásának tudományos magyarázata fontos szerepet játszott a megvilágosodás terjedésében.
Matematikai definíció
Két testre ható központi erő , amelynek nagysága a testek távolságától függően a fordított négyzettörvény szerint változik :
,
ahol egy állandó és egy egységvektor, amely a két testet összekötő egyenes mentén irányul. Az erő lehet vonzó ( ) vagy taszító ( ) .
A megfelelő skaláris potenciál a következő:
.