Modul kategória
A modulok kategóriája olyan kategória , amelynek objektumai jobboldali (bal oldali vagy kétoldalas, előzetes egyeztetés alapján) unitárius modulok egy tetszőleges egységnyi K asszociatív gyűrű felett , és amelyek morfizmusai K-modulok homomorfizmusai.
Ez a kategória az Abel-kategória legfontosabb példája . Sőt, bármely kis Abeli-kategória esetében létezik egy teljes pontos beágyazás bizonyos modulkategóriákba. A modulok kategóriájának tulajdonságai a gyűrű számos fontos tulajdonságát tükrözik, a gyűrű számos fontos tulajdonsága kapcsolódik ehhez a kategóriához, különösen homológ méreteit és részben belső szerkezetét. A kommutatív, véges generált gyűrű feletti modulok kategóriája tartalmazza a gyűrű spektrumának affin sémájának teljes algebro-geometriai jellemzőit ( Serre tételei egyike ).
A különböző gyűrűkön lévő modulok kategóriái egyenértékűek lehetnek (azaz azonos izomorf objektumosztályokkal rendelkeznek, amelyek ugyanabban a kapcsolatban állnak egymással). Ebben az esetben a megfelelő gyűrűket Morita-egyenértékűnek mondjuk . Például a különböző sorrendű mátrixok algebrái feletti modulkategóriák ekvivalensek egymással, de közös mező szerint. Mindegyik egyenértékű az ugyanazon mező feletti terek kategóriájával.
Példák
- Ha az egész számok gyűrűje, akkor a modulok kategóriája az Abel-csoportok kategóriája.
- Ha van mező , akkor a modulok kategóriája a feletti vektorterek kategóriája .
Irodalom
- Face K. Algebra: Gyűrűk, modulok, kategóriák, kötet 1,2. - M . : "Mir", 1977-79, - 688 p. + 464 p.
- Kash F. Modulok és gyűrűk. - M . : "Mir", 1981, - 368 p.
- Lambek I. Gyűrűk és modulok . - M . : "Mir", 1971, - 280 p.