Whittaker-Shannon interpolációs képlet
A Whittaker-Shannon interpolációs képletet egy korlátozott spektrumú folytonos jel rekonstruálására használják egyenlő távolságú minták sorozatából.
Az interpolációs képlet, ahogyan szokták nevezni, Émile Borel 1898-as és Edmund Whittaker 1915-ös munkájára nyúlik vissza. Az interpolációs képletet Edmund Whittaker fiának, John McNaten Whittakernek 1935-ös munkájából idézték a Nyquist-Shannon mintavételezési tétel formájában 1949-ben, a vezércikk szerzője Claude Shannon volt , Shannon előtt ezt a tételt Kotelnyikov fogalmazta meg. . Az interpolációs képletet általában Shannon interpolációs képletének vagy Whittaker interpolációs képletének is nevezik .
A mintavételi tétel kimondja, hogy bizonyos korlátozó feltételek mellett egy függvény rekonstruálható a diszkretizálásából, a Whittaker-Shannon interpolációs képlet szerint :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ jobb),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
ahol a mintavételi periódus, a mintavételi frekvencia, a normalizált sinc függvény .
Peremfeltételek
A függvénynek két peremfeltételnek kell megfelelnie ahhoz, hogy az interpolációs képlet teljesüljön:
- korlátozni kell. A függvény Fourier-transzformációjának a következő tulajdonsággal kell rendelkeznie: for , ahol .
- A mintavételezési gyakoriságnak legalább a frekvenciatartomány kétszeresének kell lennie , vagy ennek megfelelőnek:
hol van a mintavételi időszak.
Az interpolációs képlet csak akkor hozza létre újra az eredeti jelet , ha ez a két feltétel teljesül. Ellenkező esetben a magas frekvenciájú komponensek átfednek az alacsony frekvenciájúakra – aliasing .
Interpoláció mint konvolúciók összege
A Kotelnyikov-tételben levezetett interpolációs képlet azt jelzi, hogy a Dirac „fésű” konvolúciójaként is kifejezhető a sinc függvénnyel :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\jobbra).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Ez egyenértékű a Dirac "fésűs" szűrésével egy ideális aluláteresztő szűrővel .
Konvergencia
Az interpolációs képlet természetesen mindig lokálisan egyenletesen konvergál, a következő feltétel mellett:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
A Hölder-egyenlőtlenség teljesültnek tekinthető, ha a sorozat bármely - terekhez tartozik , ahol , ami ekvivalens a feltétellel:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Ez a feltétel elegendő, de nem szükséges.
Véletlenszerű stacionárius folyamatok
If egy stacionárius folyamat tágabb értelmében vett diszkrét függvény leolvasásainak végtelen sorozata , és nem tagja egyik vagy -térnek sem, 1 valószínűséggel; akkor ezeknek a leolvasásoknak a hatványra emelt összege nem veszi fel a végső várható értéket. Bár az interpolációs képlet 1-es valószínűséggel konvergál, a konvergencia könnyen kimutatható a különbség kiszámításával korlátozott összegzési feltételek mellett, és azt mutatja, hogy a különbség tetszőlegesen kicsinyíthető elegendő számú feltétel megválasztásával. Ha ez a folyamat nem nulla, akkor a feltételpárokat úgy kell figyelembe venni, hogy azt mutassák, hogy a korlátos kifejezések várható értéke nullához konvergál.
Mivel a véletlen folyamatnak nincs Fourier-transzformációja , annak a feltételnek is másnak kell lennie, amely mellett az összeg az eredeti függvényhez konvergál. Egy változatlan véletlen folyamatnak van autokorrelációs függvénye , és ebből következően monokromatikus sűrűsége, a Wiener–Khinchin tételnek megfelelően . E folyamat diszkrét függvényéhez való konvergenciához elegendő feltétel, hogy a spektrális sűrűség nulla legyen minden olyan frekvencián, amely nagyobb vagy egyenlő a mintavétel felével.