Invariáns mérték

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. június 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Invariáns mérték – a dinamikus rendszerek elméletében fázistérben meghatározott mérték , amely dinamikus rendszerhez kapcsolódik, és nem változik az időben a dinamikus rendszer fázistérbeli állapotának alakulása során . Az invariáns mérték fogalmát a mozgásegyenletek átlagolására használják , a Ljapunov-kitevők elméletében, a metrikus entrópia és a valószínűségi fraktáldimenziók elméletében [1] .

Definíció

A dinamikus rendszerek elméletében egy tér mértékét invariánsnak mondjuk a mérhető leképezéshez , ha egybeesik a képével [2] . Definíció szerint ez azt jelenti $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\to (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

Reverzibilis leképezéseknél az előképre való áttérés (*) helyettesíthető a képre való átmenettel: ha a leképezés a értelmében is mérhető , akkor a definíció ekvivalens $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Az általános helyzetben azonban a definíciót így nem lehet megváltoztatni: a kör Lebesgue-mértéke invariáns a duplázó leképezés alatt , de az ív mértéke eltér a képének mértékétől . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0,1/3]$ $[0,2/3]$

Példák

Kijelző [3] . A Perron-Frobenius egyenlet alakja . Ezt a kifejezést a jobb oldalára behelyettesítve a következőt kapjuk: . Ezt a helyettesítést egyszer megismételve a következőt kapjuk: . Ez a mérték stabil, vagyis egy tetszőleges folytonos mérték konvergál hozzá. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{2}}\jobbra)\jobbra]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{4}}\jobbra)+p\bal({\frac {x+2}{4}}\jobbra)+p\left({\frac {x+3}{4}}\jobbra)\jobbra ]$ $n$ $p(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i }{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Kijelző vagy , [4] . Hasonlóan bizonyított egy stabil folytonos invariáns c mérték létezése is. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ $x\in [0,1](1)$ $p(x)=\mathrm {const}$
Logisztikai térképezés , [4] . Helyettesítjük , , , -t kapunk , amely (1) alakra alakítható. Ezért van egy folytonos állandó valószínűségi sűrűség . Ebből a valószínűségi sűrűség következik: . ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ $x\in [-1,1]$ $x=-\cos \pi \theta$ $\theta \in [0,1]$ ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n))$ $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ $\theta$ $p(\theta )=1$ $x$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$