Krylov-Bogolyubov tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Krylov-Bogolyubov tétel invariáns mértékek létezését állítja a „jó” tereken meghatározott „jó” leképezésekre. A tételnek két változata létezik, dinamikus rendszerekre és Markov-folyamatokra

A tételt N. M. Krylov matematikus és N. N. Bogolyubov elméleti fizikus matematikus bizonyította . [1] [2] (újra kiadása: [3] ).

Dinamikus megfogalmazás

Legyen egy önmagába állított metrikus kompakt folytonos térképe . Ekkor létezik legalább egy invariáns mérték , amely úgy választható, hogy felbonthatatlan vagy ergodikus [4] . $F$ $x$ $x$ $F$ $\mu$

Jegyzetek

Az invariancia feltétel , , azt jelenti, hogy bármely Borel -halmaz inverz képének mértéke egyenlő ennek a halmaznak a mértékével, $F$ $F_{*}\mu =\mu$ $\forall A\in {\mathcal {B))(X)\quad \mu (F^{-1}(A))=\mu (A);$

sőt irreverzibilis leképezés esetén a mértéknek nem kell egyenlőnek lennie a mértékkel .

F

F(A)

A

Például a Lebesgue-mérték invariáns egy kör megkettőzésére , de az ív mértéke nem egyenlő a képének, az ívnek a mértékével . $x\mapsto 2x \mod 1$ $\left[0,{\frac {1}{3}}\right]$ $\left[0,{\frac {2}{3}}\right]$

Bizonyítás

A tétel bizonyítása az úgynevezett Krylov-Bogolyubov eljáráson alapul, amely egy tetszőleges kezdeti mérték időátlagainak sorozatából konvergens részsorozat kinyerésére szolgál.

Ugyanis egy tetszőleges kezdeti mértéket veszünk , és figyelembe vesszük az időátlagok sorrendjét: $\mu_{0}$

{\bar {\mu }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(\ mu_{0}).

Az időátlagok egyre invariánsabbak: $F$

F_{*}{\bar {\mu }}_{n}={\bar {\mu }}_{n}+{\frac {1}{n}}(F_{*}^{ n}(\mu _{0})-\mu _{0}).

Ezért az időátlagok sorozatának bármely konvergens részsorozatának határa a leképezés invariáns mértéke . De a valószínűségi mértékek tere egy metrikus kompakt halmazon kompakt (a *-gyenge topológia értelmében), így a sorozatnak van legalább egy felhalmozási pontja , amely befejezi a bizonyítást. ■ $F$ $F$ ${\displaystyle {\bar {\mu ))_{n))$

Jegyzetek

Ha a Dirac-mértéket (egy tipikus kiindulási pontra koncentrálva) vagy a Lebesgue-mértéket vesszük mértéknek, akkor a sorozat konvergenciája megfelel a Sinai-Ruelle-Bowen mérték létezésének . $\mu_{0}$ ${\displaystyle {\bar {\mu ))_{n))$

Nyilatkozat Markov-folyamatokhoz

Legyen X egy lengyel tér , és legyen ( P t ) az átmenet valószínűségeinek családja valamilyen homogén Markov - félcsoport X - re , azaz.

\Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).

Ha létezik , amelyre a valószínűségi mértékek családja { P t ( x , ·) | t > 0 } egyenletesen feszes , és a ( P t ) félcsoport kielégíti a Feller tulajdonságot , akkor létezik legalább egy invariáns mérték ( P t ), azaz egy μ valószínűségi mérték X -en , $x\X-ben$

(P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu ,\quad \forall t>0.

Változatok és általánosítások

Pontosan ugyanaz az érvelés, amely csak a Fölner-szekvencia átlagolására vonatkozik , lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy egy metrikus kompakt halmazon egy kezelhető csoport bármely folytonos tevékenységére van egy invariáns mérték ebben a műveletben.

Linkek

↑ Bogolyubov N. N., Krylov N. M. (1937): "Általános mértékelmélet a nemlineáris mechanikában". - Kijev.
↑ NN Bogoliubov és NM Krylov. La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire (francia) // Ann. Math. II. - 1937. - T. 38 . - S. 65-113 . Zbl. 16.86.
↑ "Nikolaj Nyikolajevics Bogolyubov. Tudományos közlemények gyűjteménye 12 kötetben. RAN. 1. kötet: Matematika. — M.: Nauka, 2005. ISBN 5-02-034463-X .
↑ Nemlineáris dinamika és káosz, 2011 , p. 177.

Irodalom

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Nemlineáris dinamika és káosz: alapfogalmak. - M. : Librokom, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01583-7 .