Mérje meg a képet a megjelenítési művelet alatt

A mérték képe egy természetes konstrukció, amely a leképezés értéktartományára ad mértéket a definíciós tartományban lévő mérték szerint. Ha egy mértéket tömegeloszlásként, a leképezést pedig pontok egyik térből a másikba való áthelyezéseként képzelünk el, akkor egy halmaz tömege a beleeső pontok össztömege.

A kijelző mérési képét általában jelölik , de néha használják a jelölést . $\mu$ $f$ $f_{*}\mu$ $f_{\#}\mu$

Definíció

Legyen adott a mérhető terek mérhető leképezése és egy mérték , amelynek a művelet alatti képe egy mérték a következővel definiálva $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ $\mu$ $(X,\Sigma _{1})$ $f$ $f_{*}\mu$ $(Y,\Sigma _{2})$

(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.

Tulajdonságok

A Borel -algebrákkal felszerelt metrikus terek közötti függvény esetében a mértéket a folytonos korlátos függvények függvényének tekinthetjük. Ebben az esetben a mértékkép definíciója átírható így $f\kettőspont X\Y-ra$ $\sigma$

\int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .

bármilyen folyamatos funkcióhoz kompakt támogatással. $\varphi$

Lásd még

Invariáns mérték