Csomó invariáns

A csomóinvariáns egy csomó  bármely jellemzője (a legegyszerűbb számban, de lehet polinom , csoport stb.), amely minden csomóra definiálva van, és azonos az ekvivalens csomókra. Az ekvivalenciát általában a környezeti izotópia adja meg , de megadható homeomorfizmusként is .

Az invariánsok tanulmányozását nemcsak az elmélet fő feladata - a csomók megkülönböztetése - motiválja, hanem az is, hogy meg kell érteni a csomók alapvető tulajdonságait és kapcsolatukat a matematika más területeivel.

Modern szempontból természetes, hogy a csomó invariánsát a diagramjából határozzuk meg . Természetesen az invariánsnak változatlannak kell maradnia a Reidemeister moves alatt , ez a tulajdonság megegyezik a karakterisztika invarianciájával.

Példák

• Az invariáns legegyszerűbb példája a három színben való színezés képessége és az ilyen színezések száma.
• A csomók megkülönböztetésének egyik legkényelmesebb invariánsa a csomópolinom
  • Jones polinom ;
  • Sándor polinom
• A véges típusú  invariánsok a csomóinvariánsok egy osztálya, amelyet egy bizonyos viszony jellemez egy adott számú önmetszésponttal rendelkező szinguláris csomó összes felbontásához.
• Más invariánsokat úgy határozhatunk meg, hogy figyelembe veszünk néhány egész szám függvényt a csomódiagramokon, és ezek minimumát veszik egy adott csomó összes lehetséges diagramja közül. Ez a típus tartalmazza a szakaszok számát, ami az összes csomódiagram között a keresztek minimális száma, valamint a hidak minimális számát . Az ilyen invariánsokat könnyű meghatározni, de szinte lehetetlen kiszámítani.
• A Gordon-Luc tétel kimondja, hogy a csomó komplementere (mint topológiai tér ) a csomó "teljes invariánsa", abban az értelemben, hogy megkülönbözteti az adott csomót az összes többitől egészen a környezeti izotópiáig és a tükörreflexióig . A csomó komplementeréhez kapcsolódó invariánsok közé tartozik a csomócsoport , amely egyszerűen a komplementerének alapvető csoportja . A csomópont ebben az értelemben is teljes invariáns, de az izomorfizmus szempontjából nehéz összehasonlítani a csomópontokat.
• A hiperbolikus kapcsolat komplementerének hiperbolikus szerkezetét a Mostow -féle merevség egyedileg határozza meg , így a hiperbolikus térfogat invariáns ezeknél a csomóknál és linkeknél . A térfogat és más hiperbolikus invariánsok hatékonynak bizonyultak kiterjedt csomótáblázatok összeállításában .
• homológ csomóinvariánsok, amelyek a jól ismert invariánsokat kategorizálják ( a kategóriaelmélet szempontjából lefordítják ). Például
  • A Hygard Flor  homológia egy homológiaelmélet, amelynek Euler-karakterisztikája az Alexander -csomópolinom . Hasznosnak bizonyult a klasszikus invariánsokra vonatkozó új eredmények megszerzéséhez.
  • Egy másik kutatási irány a kombinatorikusan definiált kohomológia elmélet, az úgynevezett Khovanov-homológia , melynek Euler-karakterisztikája a Jones-polinom .

Irodalom

• S. V. Duzhin, S. V. Chmutov. Csomók és invariánsaik  // Matem. áttetsző, szer. ~ 3. - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .