Lagrange és Clairaut differenciálegyenletei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. június 26-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A differenciálegyenlet egy olyan reláció, amely egy változót , a kívánt függvényt és származékait köti össze , azaz egy olyan relációt, amelynek alakja: $x$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

A differenciálegyenletek a legszélesebb körben alkalmazhatók a tudomány és a technológia különböző területein. Problémamegoldáskor merülnek fel, amikor egy változó függvénye és származékai között kapcsolat jön létre. $y$ $x$

Lagrange-féle differenciálegyenlet

Tekintsünk a következő alakú elsőrendű differenciálegyenletet

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

ahol és ismert függvényei , és feltételezzük, hogy a függvény különbözik a -tól . Az ilyen típusú egyenletet Lagrange-egyenletnek nevezik. Lineáris az és a változókhoz képest . $\varphi$ $\psi$ $y'$ $\varphi (y')$ $y'$ $x$ $y$

Egy ilyen differenciálegyenletet, ahogy mondani szokás, egy segédparaméter bevezetésével kell megoldani. Keressük meg általános megoldását a paraméter bevezetésével . Ekkor az egyenlet a következőképpen írható fel: $y'=p$

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(egy)$

Figyeljük meg, hogy ennek az egyenletnek mindkét oldalát megkülönböztetjük : $p={dy\over dx}$ $x$

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Alakítsuk át azzá

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(2)$

Még most is találhatunk néhány megoldást ebből az egyenletből, ha észrevesszük, hogy a feltételt kielégítő bármely állandó értékre valódi egyenlőséggé változik . Valójában minden állandó érték esetén a derivált ugyanúgy eltűnik, és akkor az egyenlet mindkét oldala nullával egyenlő. $p=p_{0}$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $p$ ${\displaystyle {dp \over dx))$

Az egyes értékeinek megfelelő megoldás , azaz , lineáris függvénye , mivel a deriváltja csak a lineáris függvényekre állandó . Ennek a függvénynek a megtalálásához elegendő az értéket behelyettesíteni az egyenlőségbe , azaz $p=p_{0}$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $x$ ${\displaystyle {dy \over dx))$ $(egy)$ $p=p_{0}$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Ha kiderül, hogy ez a megoldás nem kapható meg az általánosból egy tetszőleges állandó értékére sem, akkor ez egy speciális megoldás lesz .

Most keressünk egy általános megoldást. Ehhez az egyenletet a formába írjuk $(2)$

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)))$

és a függvényt fogjuk figyelembe venni . Ekkor a kapott egyenlet nem más, mint egy lineáris differenciálegyenlet a függvény függvényében . Megoldjuk, megtaláljuk $x$ $p$ $x$ $p$

$x=\omega (p,C)$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(3)$

A paraméter eltávolítása az egyenletek közül , és az egyenlet általános integrálja a formában $p$ $(egy)$ $(3)$ $(egy)$

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Clairaut differenciálegyenlete

Tekintsünk a következő formájú differenciálegyenletet

$y=xy'+\psi (y')$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(egy)$

Az ilyen egyenletet Clairaut-egyenletnek nevezik.

Könnyen belátható, hogy a Clairaut-egyenlet a Lagrange-egyenlet speciális esete, amikor . Ugyanígy van integrálva egy segédparaméter bevezetésével. $\varphi (y')=y'$

Hadd . Akkor $y'={dy \over dx}=p$

$y=xp+\psi (p)$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(2)$

Ezt az egyenletet a Lagrange-egyenlettel azonos módon különböztetjük meg, figyelembe véve, hogy , írjuk $x$ $p={dy\over dx}$

${\displaystyle p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx))$

Alakítsuk át azzá

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Ha minden tényezőt nullával egyenlővé teszünk, azt kapjuk

${dp \over dx}=0$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(3)$

és

$[x+\psi '(p)]=0$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(négy)$

Integrálva a kapott egyenletet . Helyettesítse be az egyenletben szereplő értéket, és keresse meg a közös integrálját $(3)$ $p=C=const$ $p$ $(2)$

$y=xC+\psi (C)$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(5)$

Geometriailag ez az integrál egyenes vonalak családja . Ha az egyenletből megtaláljuk a függvény függvényében , majd behelyettesítjük az egyenletbe , akkor megkapjuk a függvényt $(négy)$ $p$ $x$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\hosszú jobbra nyíl$ $(6)$

Ami, mint könnyen látható, az egyenlet megoldása . Valóban, az egyenlőség értelmében azt találjuk $(egy)$ $(négy)$

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx))$

De azóta . Ezért a függvényt behelyettesítve az egyenletbe , megkapjuk az azonosságot $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ ${dy \over dx}=p$ $(6)$ $(egy)$

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

A megoldást nem az általános integrálból kapjuk egy tetszőleges állandó értékére sem . Ez a megoldás egy speciális megoldás, amely a paraméter egyenletekből való kiiktatása miatt jön létre $(6)$ $(5)$ $C$ $p$

$y=xp+\psi (p)$ és $x+\psi '(p)=0$

vagy ami nem számít, kivételt az egyenletek alól $C$

$y=xC+\psi (C)$ és $x+\psi '(C)=0$

Ezért a Clairaut-egyenlet egy speciális megoldása határozza meg az általános integrál által adott egyenescsalád burkológörbéjét . $(5)$

A Clairaut-egyenlet alkalmazásai.

A geometriai problémákat a Clairaut-egyenletbe hozzuk, ahol meg kell határozni a görbét az érintőjének adott tulajdonsága szerint , és ennek a tulajdonságnak magára az érintőre kell vonatkoznia, nem pedig az érintőpontra. Valójában az érintőegyenletnek megvan a formája

$Yy=y'(Xx)$

vagy

$Y=y'X+(y-xy')$

Az érintő bármely tulajdonságát a és közötti kapcsolat fejezi ki : $(y-xy')$ $y'$

$\Phi (y-xy',y')=0$

-re vonatkoztatva megoldva a forma egyenletéhez jutunk $(y-xy')$

$y=xy'+\psi (y')$ , vagyis semmi másra, mint a Clairaut-egyenletre.

Irodalom

V. I. Smirnov "Felsőfokú matematika tanfolyam", második kötet, Nauka Kiadó, Moszkva 1974.

N. S. Piskunov "Differenciál- és integrálszámítás", második kötet, Nauka kiadó, Moszkva, 1985

K. N. Lungu, V. P. Norin és munkatársai „Problémák gyűjtése a felsőbb matematikában”, második év, Moszkva: Iris-press, 2007

Lásd még