Dirac potenciálfésű

Dirac-potenciálfésű , a kvantummechanikában , Dirac δ-függvények sorozata által alkotott periodikus potenciál .

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),

ahol a a szomszédos szinguláris pontok közötti intervallum. Ez a legegyszerűbb modell, amelyben a spektrum sávszerkezete keletkezik.

Schrödinger egyenlete egy potenciállal Dirac-potenciálfésű formájában

A Schrödinger-egyenlet felveszi a formát

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{ n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).

A jelölés bevezetésével a következőket kapjuk: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right) \psi(x)=0.

Az intervallumban az egyenlet a következő alakot ölti: $0<x<a$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0

általános megoldása pedig az

\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.

Mivel a potenciál periodikus , ezért az intervallumban a megoldás alakja van $a<x<2a$

\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(xa)}+C_{2}e^{-ik(xa)}\right).

Hullámfüggvény folytonossági feltétele

\Psi (a+0)=\Psi (a-0).

A Schrödinger-egyenletet a pont környezetébe integrálva megkapjuk a derivált illesztési feltételét: $x=a$

\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).

Ezen feltételek mellett a következőkkel rendelkezünk:

e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},

ike^{iKa}(AB)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).

Ennek az egyenletnek vannak nemtriviális megoldásai

\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka.

Ebből következik, hogy a megengedett energiaértékek zónáit az egyenlőtlenség határozza meg

|\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka|\leqslant 1.

Megfelelő energiaspektrum:

E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom