Kétlépcsős legkisebb négyzetek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Kétlépcsős legkisebb négyzetek (Two-Stage OLS, DMNK, TSLS, 2SLS - eng. Two-Stage Least Squares ) - az ökonometriai modellek paramétereinek becslésére szolgáló módszer , különösen szimultán egyenletrendszerek esetében, amely két szakaszból (lépésből) áll , amelyek mindegyike a legkisebb négyzetek módszerét használja .

A kétlépéses legkisebb négyzetek szorosan összefügg az instrumentális változók módszerével . Néha általánosított módszernek vagy egyszerűen instrumentális változók módszerének nevezik. Egyes egyenletek kiértékelésekor további (instrumentális) változókat használnak, amelyek közvetlenül nem vesznek részt a modellben. Használatuk annak köszönhető, hogy a modell egyes tényezői nem feltétlenül elégítik ki az exogenitás követelményét . A szimultán egyenletrendszerek értékelésénél általában a rendszer exogén változói az eszközök.

A módszer lényege

Legyen X az ökonometriai modell tényezőinek halmaza, amelyek egy része endogén, néhány exogén lehet. Legyen megadva a modellhez Z exogén változók halmaza is (egy részük részt vehet a modellben, és van, amelyik nem). Az eszközök száma nem lehet kevesebb, mint a modell kezdeti tényezőinek száma.

A kétlépéses OLS eljárás a következő:

1. lépés . A közönséges legkisebb négyzetek az X tényezők regresszióját becsülik meg az eszközökön . A modell paraméterbecslései nyilvánvalóan megegyeznek a következőkkel: $X=ZB+U$

${\hat {B}}_{OLS}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X$ .

Ennek eredményeként a következő becsléseket kapjuk az eredeti változókra vonatkozóan:

${\hat {X}}=Z{\hat {B}}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X=P_{Z}X~,~P_ {Z}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

2. lépés . A második szakaszban a kezdeti modell becslése történik (szintén a szokásos legkisebb négyzetekkel), a modelltényezőket az első lépésben kapott becsléseikre cserélve:

${\hat {b}}_{TSLS}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=(X^{T}P_{Z}^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}^{T}y$

Tekintettel arra, hogy végül megkapjuk a képletet a kétlépéses legkisebb négyzetek becslésére: ${\displaystyle P_{Z}^{T}=P_{Z}~,~P_{Z}^{T}P_{Z}=P_{Z))$

${\hat {b}}_{TSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

Ha a modell véletlen hibáinak kovarianciamátrixa arányos az egységegységgel, azaz , akkor ezen becslések kovarianciamátrixa egyenlő $\sigma ^{2}I$ $V_{{\hat {b}}_{TSLS}}=\sigma ^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}$

Súlyozott kétlépéses legkisebb négyzetek

Ha mind a két lépésben nem a szokásos, hanem a súlyozott legkisebb négyzeteket alkalmazzuk azonos súlymátrixszal, akkor becsléseket kapunk a súlyozott kétlépéses legkisebb négyzetekre (Weighted TSLS, WTSLS ): $W$

${\hat {b}}_{WTSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =WZ(Z^{T}WZ)^{-1}WZ^{T}$

A kovariancia mátrix képlete hasonló a szokásos TSLS-hez, figyelembe véve a képletet . $P_{Z}$

Kapcsolat az instrumentális változók módszerével

A kétlépcsős OLS- módszert Generalized Instrumental Variables Estimator-nak (GIVE) vagy egyszerűen instrumentális változós módszernek is nevezik. Ha a z eszközök száma megegyezik az eredeti változók számával (a pontos azonosítási eset ), akkor a mátrixok négyzet alakúak. Következésképpen $Z^{T}X,~X^{T}Z$

${\hat {b}}_{TSLS}=(X^{T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X)^{-1}X^{ T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}y=(Z^{T}X)^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T} Z)^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z)^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X)^{-1} Z^{T}y$

Vagyis megkapjuk az instrumentális változók módszerének klasszikus képletét . ${\hat {b}}_{IV}=(Z^{T}X)^{-1}Z^{T}y$

Meg kell jegyezni az ellentétes irányú kapcsolatot is az instrumentális változók módszerével, nevezetesen a kétlépéses legkisebb négyzetek módszere az IP módszer speciális esete, amikor egyes Z változókra a legkisebb négyzetek becslését alkalmazzuk. mint eszközök:

${\hat {b}}_{IV}=({\hat {X}}^{T}X)^{-1}{\hat {X}}^{T}y=(X^ {T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y$

ami egybeesik a kétlépéses legkisebb négyzetek képletével.

Kétlépéses legkisebb négyzetek szimultán egyenletrendszerekben

A szimultán egyenletrendszerekben a strukturális egyenletek paramétereinek becslésére kétlépéses legkisebb négyzeteket használnak, mivel ez utóbbiak endogén modellváltozókat tartalmaznak faktorként, és a közönséges legkisebb négyzetek használata torz és inkonzisztens becslésekhez vezet .

Itt általában magának a modellnek az exogén változóit használják Z-eszközként. Ennek megfelelően a becslési eljárás abból áll, hogy az első lépésben a szokásos legkisebb négyzetek becslik az endogén változók regresszióját a rendszer összes exogén változójára, majd a második lépésben ezeket a becsléseket alkalmazzuk a rendszer endogén változói helyett. a szerkezeti egyenlet jobb oldala, amelyre a szokásos legkisebb négyzeteket alkalmazzuk.

Ez a megközelítés lehetővé teszi a szerkezeti forma paramétereinek konzisztens becslését.

Kétlépcsős legkisebb négyzetek

A módszer lényege

Súlyozott kétlépéses legkisebb négyzetek

Kapcsolat az instrumentális változók módszerével

Kétlépéses legkisebb négyzetek szimultán egyenletrendszerekben

Lásd még